Idéaux et sous anneau

[invite50baf54d]

Bonjour,

Pourquoi utilise-t-on la notion d'idéal et non de sous-anneau pour définir un anneau quotient?

Cordialement;
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[inviteea028771]

Bonjour,

Pourquoi utilise-t-on la notion d'idéal et non de sous-anneau pour définir un anneau quotient?

Cordialement;

Sinon, il y a des problèmes de "bonne définition". Si tu quotientes par un sous anneau qui n'est pas un idéal, la multiplication va poser problème. On veut que



Or

(x+i1).(y+i2) = x.y + i2.x + y.i1 + i1.i2

Il faut donc que i2.x et y.i1 appartiennent à I, quelque soient x, y, i1 et i2

[invite33c0645d]

Trrès bonne question! Comment justifier la notion d'idéal ?!!!

Déjà il faut comprendre qu'il n'y a pas de manière canonique de créer une structure permettant de faire naître un anneau sur n'importe quel ensemble. Il est très particulier de pouvoir faire des calculs, de l'algèbre sur des ensembles!

Soit A un anneau commutatif. Soit B un ensemble. Pour parler de quotient de A par B, il faut définir une relation d'équivalence, il suffit pour cela que B soit un sous groupe de A.

Dans ce cas appelons Q le quotient de A par B. On définit alors une structure de groupe sur Q en définissant une loi de composition interne comme suit:



où désige la classe de $a$ modulo B. On appelle projection canonique l'application où x est un élément de A. On a alors définit un morphisme de groupe.

/!\ La structure de groupe de B permet de montrer que l'application ci-dessus est bien définie et est un morphisme/!\

Q est alors munit d'une structure de groupe. Pourquoi ne conserverait-on pas la structure d'anneau ?!

Ce n'est pas évident d'expliquer pourquoi on veut conserver un morphisme d'anneau entre A et Q. C'est là tout le problème! On pourrait peut être trouver un moyen de donner une structure d'anneau à Q, mais alors on perdrait le caractère de morphisme d'anneau de $\pi$. Si l'on comprend comme Emmy Noether "qu'il faut" des quotients conservant la structure d'anneau, alors la suite est très simple. Pourquoi cela ? Le quotient par une relation d'équivalence permet de classer les éléments d'un ensemble qui sont les mêmes modulo une propriété. Une motivation de quotienter par un groupe est de CONSERVER la structure de l'ensemble de départ (dans notre cas la structure d'anneau). Par exemple le moi de juillet 2013 est "le même" que le moi de juillet 2000 modulo 13 années. On conserve la structure des journées, le 29 juillet 2000 est le même jour de l'année que le 29 juillet 2013 (on met de côté les années bissextiles).

(Suis-je clair ?! :s)

Il ne reste plus qu'à définir une multiplication sur Q.
Soit x et y deux éléments de A représentant la même classe.

Pour conserver la structure d'anneau de A en passant au quotient, il faut et il suffit que . Autrement dit, l'application de multiplication définie sur Q doit vérifier:



et doit être bien définie. C'est-à-dire que la multiplication ne dépend pas du représentant choisi!

Soient a et b deux éléments de A de sorte que a et x représentent la même classe et b et y aussi. Donc il existe u et v deux éléments de B tels que:


Ainsi on aura



Il suffit donc que .

Pour celà il suffit que l'on ait la propriété d'un idéal !

Je conseil le cours très bien fait de Patrick Polo à ce sujet. Cours Algèbre M1 Jussieu 2004-2005

EDIT : J'ai été trop long pour écrire ma réponse

[invite76543456789]

Bonjour,
Peut etre un peu en retard, mais ca n'a pas été dit dans les réponses precedentes.
C'est parce que le noyau d'un morphisme d'anneau est un ideal, et pas un sous anneau. Tu veux que les morphis du quotient de A par un sous truc de A dans un anneau R, s'identifie aux morphisme de A dans R nuls sur le sous truc. Ce sous truc ne peut donc etre un sous anneau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Si tu quotientes par un sous anneau qui n'est pas un idéal, la multiplication va poser problème.

A noter que dans un anneau unitaire, les sous-anneaux sont rarement des ideaux: un sous-anneau contient l'unite, alors qu'un ideal contenant l'unite est l'anneau tout entier.