Lien entre la derivé et l'integrale

[invite8a5e1d55]

Bonjour à tous,

Nous débutons les intégrales à mes cours de math et j'ai de la peine avec une chose importante. Normalement d'après le prof l'intégral est la "marche arrière de la dérivé".

Donc si je prend un fonction F(x), et que je dérive je fait (en GROS) : f(x) = Dy / Dx = (F(x1) - F(x2)) / Dx. Cela donne la derivé au point xi situé entre x1 et x2, bien sûr, x1 est très très très proche de x2.

Maintenant, lorsqu'on intègre, on devrait retrouver F(xi) si c'est bien la marche arrière.

intégrale: F(xi) = f(xi) * Dx, ce qui donne si on remplace f(xi) par (F(x1)- F(x2)) / Dx:

F(xi) = [(F(x1)- F(x2)) / Dx] * Dx, les Dx tombent il reste F(xi) = (F(x1)- F(x2)). Hors (F(x1)- F(x2)) ce n'est pas du tout F(xi).

(F(x1)- F(x2)) ce n'est que le delta de F(x) autour de Xi.

Voilà pourriez vous m'éclaircir svp?

Merci par avance
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[invite14e03d2a]

Salut,

tes definitions de derivatives et d'integrales sont tres approximatives. Le theoreme qui justifie l'integration comme operation "inverse" de la derivation est le Theoreme Fondamental du Calculus:

Soit f une fonction continue sur un intervalle . Soit la fonction definie par . Alors est differentiable sur et .

Cordialement

[albanxiii]

Bonjour,

Je traduis....

tes definitions de dérivatives (des dérivées) et d' (et des) integrales sont tres approximatives. Le theoreme qui justifie l'integration comme operation "inverse" de la derivation est le Theoreme Fondamental du Calculus (théorème fondamental de l'analyse) :

@+

[gg0]

Bonjour The_volt.

Pour bien saisir le lien entre dérivée et intégrale (très exactement primitives et intégrale à borne variable), il faut faire la différence entre les fonctions (f, F) et leurs valeurs (f(x1), f(x(2), F(x1),...).
La recherche de primitives est bien la "marche arrière de la dérivé". Le calcul d'intégrales se fait, dans les cas très simples, à l'aide de primitives, mais aussi de très nombreuses autres façons (l'imagination des mathématicien est très large !). Au début de l'apprentissage, on en reste là. Mais c'est déjà un apprentissage très important.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Donc si je prend un fonction F(x), et que je dérive je fait (en GROS) : f(x) = Dy / Dx = (F(x1) - F(x2)) / Dx. Cela donne la derivé au point xi situé entre x1 et x2, bien sûr, x1 est très très très proche de x2.

Montrer que les opérations de dérivation et d'intégration sont réciproques l'une de l'autre est difficile à montrer d'une façon générale au niveau terminale.
Rappelons que la définition de la dérivée de la fonction g : c'est la limite quand x tend vers 0 du taux de variation de g(x).
Voici une idée de la démonstration, celle-ci est faite, en générale, en terminale S.
Considère une fonction f définie positive et dérivable sur un intervalle [a;b].
Considère maintenant l'aire A(x) sous la courbe de f sur [a; b]. Cette aire est la mesure du domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites verticales d'abscisse a et x. Fais un dessin pour visualiser correctement ce que je décrit.
A(x) est définie comme l'intégrale de a à x de f :

Considère maintenant A(x+h)-A(x) avec h petit, dessine sur ton dessin précédent le domaine qui correspond à cette aire. Tu verras qu'il s'agit d'une bande verticale trapézoïdale (presque) de largeur h et de hauteur f(x) et f(x+h). Pour h petit, cette bande trapézoïdale est presque un rectangle de hauteur f(x) et de largeur h, le petit triangle en haut devient négligeable pour h petit. On peut donc écrire pour h petit :

Divise les deux membres par h et fait tendre ce même h vers 0 et tu constate ainsi que la dérivée de l'intégrale

est précisément f(x). Ceci montre que les opérations d'intégration et de dérivation sont réciproques l'une de l'autre.
Cette démonstration est simplifiée, elle fut faite pour la première fois au 17e siècle par Isaac Barrow, professeur de Newton.