Bonjour j'ai commencé mon dm sur les primitives

[invite3b09ac13]

Soit g et h les fonctions définies sur ]1;+oo[ par

g(x)= 1/(x-1)³

h(x)=1/(x-1)⁴

1/déterminer les primitives des fonctions g et h
2/sachant que la fonction f(x)=x/(x-1)^4 sur ]1;+oo[
déterminer les réels a et b tels que f(x)=a/(x-1)³+b/(x-1)⁴
3/donner une primitive F de f
4/ déduisez I= intégrale de 2 a 3 x/(x-1)⁴ dx


1/ les fonctions g et h sont des focntions rationnelles admettant des primitives sur ]1;+oo[ et sont de la forme U'/Uⁿ

U'/Uⁿn équivaut à -1/(n-1)Uⁿ-1

Donc G= -1/(2(x-1)² car u(x)=x-1 dc u'(x)=1

et H= -1/3(x-1)³ et u(x)=x-1 dc u'(x)=1


2/ f est la fontionc définies par f(x)=x/(x-1)⁴
Déterminont les réels a et b:

f(x)= a/(x-1)³+ b/(x-1)⁴ si et seulement si x/(x-1)⁴

Donc x/(x-1)⁴=a(x-1)+b/(x-1)⁴ (j'ai mis sur le même dénominateur)

si x= ax-a+b
Nous arrivons ainsi à un système qui est le suivant:

a=1
-a+b=0

équivaut à: a=1 et -1+b=0 soit b=1

donc f(x) est de la forme 1/(x-1)³+1/(x-1)⁴ on retrouve les fonctions g et h!!

3/ Donner la primitive de f:
c'est de la forme u'+v'

F= -1/ 2(x-1)²-1/3(x-1)³ .. je ne suis pas sure du tout

4/ l'intégrale je ne sais pas..

Merci d'avance!
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[Bleyblue]

1/ les fonctions g et h sont des focntions rationnelles admettant des primitives sur ]1;+oo[ et sont de la forme U'/Un

U'/Unn équivaut à -1/(n-1)Un-1

Donc G= -1/(2(x-1)2 car u(x)=x-1 dc u'(x)=1

et H= -1/3(x-1)3 et u(x)=x-1 dc u'(x)=1

C'est bon (le reste je n'ai pas encore vérifier)

[Bleyblue]

Les points deux et trois sont correctes aussi.

Pour le point 4 ça n'est pas difficile, tu cherches :



et tu connais une primitive F(x) de f
Donc le théorème fondamental te dit que c'est égale à ... ?

[invite3b09ac13]

c'est égale à F(3)-F(2) oui!!

[A voir en vidéo sur Futura]