Nombres premiers et infini

[invited30c9e98]

On suppose qu’il existe une infinité de nombres premiers pi classés par ordre croissant.
Soit (vn) la suite définie par vn=∏_(i=2)^n▒〖p_(i)〗+1 .Tout le monde sait que ∏_(i=2)^n▒p_i +1 est une suite de nombres premiers qui doit donc être égale a une sous suite de (vn),
Donc ∏_(i=2)^n▒〖p_i〗+1=pk pour k > n
Or (vn) est une suite de nombre impaire et ∏_(i=2)^n▒〖p_i〗+1=pk est paire d’où la contradiction.
Ce n’est jamais vrai donc il n’existe pas une infinité de nombre premier.
NB 2 est e seul nombre premier pair car un nombre pair est de la forme 2p donc aussi divisible par 2.
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[Médiat]

Bonjour

Tout le monde sait que ∏_(i=2)^n▒p_i +1 est une suite de nombres premiers.

Désolé, mais je ne savais pas qu'une somme de nombres pairs supérieurs à 2 pouvait être un nombre premier, bêtement je pensais que le résultat était pair supérieur à 2 !

[Amanuensis]

Fallait lire

Ceci dit, ce n'est toujours pas une suite de nombres premiers...

(Le premier contre-exemple est 2.3.5.7.11.13.17 + 1)

[Amanuensis]

Euh.. non, c'est le deuxième

Par ailleurs, j'ai fait l'hypothèse que l'indexation était telle que p₂ = 2. Perso, j'aurais pris p₀=2. Détail.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited30c9e98]

Donc la démonstration de l'infinité des nombres premiers n'est pas valide ?

[Amanuensis]

Peut-être que celle vous connaissez n'est pas valide!

Mais la démo usuelle dit que est divisible par au moins un nombre premier strictement supérieur à p_n, ce qui suffit pour montrer l'infinité.

Par exemple 2.3.5.7.11.13.17 + 1 est égal à 19.97.277, soit trois nombres premiers strictement supérieurs à 17

[invited30c9e98]

Donc tu abonde dans mon sens , la démonstration ne l'infinité des nombres premiers n'est pas valide puisque d'après toi ce produit n'est pas un nombre premier, contrairement à ce qu'on trouve dans la littérature usuelle. En connais tu une demonstration valide, et du coup ma démonstation est bonne ?

[eudea-panjclinne]

Il faut faire une démonstration par l'absurde correcte .
On suppose qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombre premiers p1...pn, n dans IN.
On considère le nombre ci-dessus,cité par Amanuensis, c'est un entier plus grand que 1 évidemment.
Il admet donc un diviseur premier P, qui ne peut être dans la suite précédente (à vérifier) d'où la contradiction et le fait que le nombre de nombres premiers est infini.

[Amanuensis]

Donc tu abonde dans mon sens , la démonstration ne l'infinité des nombres premiers n'est pas valide puisque d'après toi ce produit n'est pas un nombre premier, contrairement à ce qu'on trouve dans la littérature usuelle. En connais tu une demonstration valide, et du coup ma démonstation est bonne ?

Vous n'avez pas compris mon message. Avec celui de eudea..., cela est-il plus clair?

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement, j'espère en effet que la lumière va se faire

Donc tu abonde dans mon sens , la démonstration ne l'infinité des nombres premiers n'est pas valide puisque d'après toi ce produit n'est pas un nombre premier, contrairement à ce qu'on trouve dans la littérature usuelle. En connais tu une demonstration valide, et du coup ma démonstation est bonne ?

La démonstration que l'on trouve dans la littérature ne dit pas que ce produit est un nombre premier. Donc ta remarque "la démonstration ne l'infinité des nombres premiers n'est pas valide puisque d'après toi ce produit n'est pas un nombre premier" est complètement faux.

Je vais paraphraser eudea-panjclinne (pfffff, la prochaine fois j'écris juste eudea )

Ce que fait la démonstration est ceci :
- soit une liste finie de nombre premiers
- soit le nombre construit comme suit (le fameux produit) (et qui n'est pas nécessairement un nombre premier)
- montrons (en utilisant ce produit) qu'il existe forcément un autre nombre premiers que ceux de la liste

Donc, aucune liste finie de nombre premiers ne peut être finie, donc il y en a une infinité.

[Médiat]

Fallait lire

Ceci dit, ce n'est toujours pas une suite de nombres premiers...

(Le premier contre-exemple est 2.3.5.7.11.13.17 + 1)

Exact, mais si on peut noter 2 = p₀ ou p₁ (question de goût), donc p₂ > 2 et est un produit de nombres impairs, c'est donc un nombre impair et en ajoutant 1 le résultat est pair > 2 donc pas premier !

Mais le point le point central est que jeromath.pi n'avait pas compris la démonstration usuelle rappelée par 3 personnes, on peut espérer que maintenant les choses sont plus claires pour lui.

[Amanuensis]

Le problème de l'indexation ne m'avait pas vraiment échappé. Cf. message #4.

[invite179e6258]

il y a une variante de la démonstration classique d'Euclide, celle donnée par Laurent Schwartz : soit p un nombre premier, on considère le nombre n=p!+1, ce nombre a un diviseur premier qui est nécessairement plus grand que p. Je trouve que c'est bien une démonstration d'analyste : étant donné un nombre vérifiant telle propriété, on en trouve un plus grand, autrement dit l'ensemble des nombres qui vérifient la propriété n'est pas borné.

[Laodice]

Une droite tend par définition vers l'infini. Il existe donc une infinité de NP.

[Deedee81]

Bonjour,

Une droite tend par définition vers l'infini. Il existe donc une infinité de NP.

Tu peux être plus précis ? Car on pourrait dire
"Une droite tend par définition vers l'infini. Il existe donc une infinité de nombre premiers pairs."

Ce qui est faux.

[Médiat]

Déjà, j'aimerais connaître la définition de "une droite tend vers l'infini"

[invited30c9e98]

Bonsoir,

Je ne sais pas si vous avez remarqué, mais chaque remarque, utile, va dans mon sens. Surtout produit des premiers nombres premiers n'est pas forcements un nombre premier.

[invite76543456789]

C'est une lecture particulière du fil...
Surtout pour noter que le produit de nombre premiers n'est pas premier, ou (j'imagine qu'il y a une faute de frappe) le fait que le produit de nombre premier consécutif+1 n'est pas necessairement premier.
La preuve d'Euclide ne l'affirme pas (et personne ne pretend le contraire).

Du reste y a dix milles autres moyens de prouver que l'ensemble des nombres premiers est infini, par exemple montrer que diverge.

[inviteea028771]

Bonsoir,

Je ne sais pas si vous avez remarqué, mais chaque remarque, utile, va dans mon sens. Surtout produit des premiers nombres premiers n'est pas forcements un nombre premier.

Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, on les prends tous et on les numérotes : p1,p2, ..., pn

Ensuite je regarde le nombre r = (p1*p2*p3*p4*...*pn) + 1 :

Ce nombre est strictement plus grand que tout les nombres premiers, ça n'est donc pas un nombre premier

Est il divisible par p1? Non, puisque son reste pour la division euclidienne par p1 est égal à 1
Est il divisible par p2? Non, puisque son reste pour la division euclidienne par p2 est égal à 1
...
Est il divisible par pn? Non, puisque son reste pour la division euclidienne par pn est égal à 1

r est donc un nombre qui n'est divisible par aucun nombre premier.

De là, il est facile de voir que r n'a que deux diviseurs : 1 et r, donc un nombre premier, ce qui est contradictoire : l'hypothèse de départ est fausse

[invite179e6258]

Bonsoir,

Je ne sais pas si vous avez remarqué, mais chaque remarque, utile, va dans mon sens. Surtout produit des premiers nombres premiers n'est pas forcements un nombre premier.

pure curiosité de ma part : tu penses vraiment que les nombres premiers sont en nombre fini, ou bien tu ergotes sur la démonstration d'Euclide?

[Laodice]

@ Deedee81 & Médiat

Le nombre 2 génère à lui tout seul tous les nombres paires sur la droite y = 2x (avec x qui appartient à l'ensemble des entiers naturels)

La droite des impairs y = 2x + 1 (avec x qui appartient à l'ensemble des entiers naturels) regroupe tous les NP à l'exception de 2.

Pourquoi nous intéressons-nous aux NP ? Parce qu'on a besoin de tous ses nombres pour générer la suite des impairs.

Si on compte jusqu'à l'infini, on a besoin d'une infinité de NP.

Si on se limite à compter jusqu'à 100, 25 NP suffisent.

[invite179e6258]

Si on compte jusqu'à l'infini, on a besoin d'une infinité de NP.

mais justement ce n'est pas si évident : les nombres impairs sont bien des produits de premiers impairs, mais puisqu'on peut répéter plusieurs fois chaque facteur premier, on pourrait imaginer qu'un nombre fini de nombres premiers suffit à engendrer tous les nombres impairs. Après tout la suite des puissances de 3 est déjà infinie.

[eudea-panjclinne]

Les derniers messages illustrent un résultat assez intéressant : le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet:

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux alors la suite an+b, n dans IN, contient un nombre infini de nombre premiers.

Existe-t-il des suites de ce type qui en contiennent un nombre fini non nul (ex 2n, n dans IN) ?

[invite76543456789]

Si les nombres a et b ne sont pas premiers entre eux alors la suite (a+nb) contient au plus un nombre premier, le premier terme.

[Amanuensis]

Si ni a ni b n'est nul.

[eudea-panjclinne]

MissPacMan
L'exercice n'était qu'un simple exercice de spécialité Terminale S.
Dans la même veine ou presque:
Les suites suivantes admettent-elles un nombre fini de nombres premiers :