DM : Résolution d'une équation différentielle

[invited55db15e]

Bonjour,
Je dois trouver des fonctions f dérivables sur \R telles que :

f'(x)=2f(1-x)

On suppose f une solution du problème et en dérivant une seconde fois, on a accès une équation différentielle d'ordre 2 :

f''+4f=0

Les solutions à cette équation s'écrivent sous la forme f(x)=acos(2x)+bsin(2x)

Cependant, une fois cela fait on me demande de "conclure". J'ai alors essayé de faire une réciproque en disant "j'ai des fonctions de la forme trouvée auparavant, voyons si elles répondent bien aux critères initiaux". Mais lorsque j'essaye de de prouver que f'(x)-2f(1-x)=0 , je me noie totalement dans des calculs sans aboutir à rien...

Est le raisonnement qui est mauvais ( je ne suis pas sur qu'il faut répondre à cette question de conclusion) ou les calculs qui sont mal abordés ?
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenu sur le forum,

Vous êtes sur de votre équation différentielle du second ordre ? (soit je suis très fatigué, et je ne sais plus dériver, soit vous vous êtes un peu trompé).

Sinon, regardez les périodes des fonctions solutions, et ce qu'implique la première relation sur ces mêmes périodes.

@+

[invite3ba0dddb]

Salut,

Bonjour et bienvenu sur le forum,
Vous êtes sur de votre équation différentielle du second ordre ? (soit je suis très fatigué, et je ne sais plus dériver, soit vous vous êtes un peu trompé).
@+

Il a surement fait ça:

on dérive

en utilisant la 1er équation

soit

[ansset]

certes,
mais voyons un autre exemple:
f'(x)=2f(a-x) ( avec a réel )
donc
f''(x)=-2f'(a-x)
donc
f''(x)+4f(x)=0 , bizarre : la même équation.

c'est encore une histoire d' => versus <=> .

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bref ,
soit on peut parler de f" et on abouti à la seule solution f(x)=0 pour tout x ( a =b=0 )
soit pas, et je ne sais conclure.

ps : j'aurai trouver plus joli d'aboutir à la fonction nulle uniquement avec la fct de départ.

[Arzhur]

Bonjour,


Pour ma culture personnelle : qu'est-ce qui te permet de dire que la fonction nulle est la seule solution ?

[ansset]

Bonjour,


Pour ma culture personnelle : qu'est-ce qui te permet de dire que la fonction nulle est la seule solution ?

dans R, les seules fonctions qui satisfont
1 ) f"(x)+4f(x)=0 sont
2) f(x)=acos(x)+bsin(x)
or
f'(x)=2f(1-x) => f"(x)+4f(x)=0
donc la seule possibilité est la fonction nulle, qui est solution de 2) et respecte 1).

( ceci pour les fonctions 2 fois dérivables )
il existe peut être des fonctions "exotiques" qui repondent à f'(x)=2f(1-x)

[ansset]

correction
f(x)=acos(2x)+bsin(2x).

[Arzhur]

D'accord mais pour montrer que a=b=0 : je l'ai fait en injectant 2) dans f'(x)=2f(1-x) ...Vu la discussion j'avais l'impression que t'y parvenais avec un moyen "plus rapide"

[invite4bf147f6]

Bonjour,

Les solutions de y''+4y=0 peuvent s'écrire f(x)=A*sin(2x+phi).
Donc f'(x)=2A*cos(2x+phi)
si A non nul, on déduit cos(2x+phi)=sin(2+phi-2x)
pour x=-phi/2 on a alors: 1=sin(2+3phi)
et pour x=phi/2 on a cos(3phi)=sin(2)
on trouve alors phi= pi/2 - 2 a 2pi près
or pour x=0 on a: cos(phi)=sin(2+phi) =1
or cos(phi) <1
la seule solution est la fonction nulle

[invited55db15e]

Merci pour ces réponses rapides.

Cependant, maintenant que je vois que ce n'est pas l'équation différentielle d'ordre 2 qui me bloquait, je n'arrive pas à comprendre la suite.

On sait que les fonctions répondant à f'(x)=2f(1-x) (1) répondent également à f"(x)+4f(x)=0 (2).
On sait ensuite que les fonctions solutions de (2) sont sous la forme f(x)=acos(2x)+bsin(2x). (3)
Si j'ai compris, on veut trouver les fonctions qui appartiennent à (3) ET à (1). Est-ce correct ?

Vous arrivez ensuite à affirmer que seul a=0 et b=0 (soit la fonction nulle) correspond à cette exigence, cependant avez vous fait des calculs ou avez vous simplement raisonné ? En effet, je croyais qu'il fallait, comme proposé au post précédent, injecter (3) dans (1), c'est-à-dire écrire :

Soit f(x)=acos(2x)+bsin(2x)
alors f'(x)=-2asin(2x)+2bcos(2x) (4)
et 2f(1-x)=2acos(2-2x)+2bsin(2-2x) (5)

Pour ensuite trouver les conditions sur a et b pour que (4) et (5) soient égaux ( ce que je n'arrive pas)

[Arzhur]

Pour ensuite trouver les conditions sur a et b pour que (4) et (5) soient égaux ( ce que je n'arrive pas)

Mickan te l'a fait...sinon en écrivant (4) = (5) (pour tout x), et en développant le tout, tu retombes sur a=b=0

[albanxiii]

Re,

Il a surement fait ça:

Je me suis rendu compte de l'énormité que j'ai écrite une fois déconnecté...

@+

[invited55db15e]

Merci Mickan pour cette explication détaillée, c'est effet peut-être plus simple d'écrire les solutions sous cette forme.

Cependant, j'essaie de faire comme Arzhur me dit, c'est à dire de développer mais je dois avouer que je bloque... J'essaie d'utiliser au maximum les identités trigonométriques pour me défaire des cos(2x) ou des cos(2x-2) ( idem pour les sinus) mais je me retrouve avec des expressions à rallonge impliquant des quantités de cos(2) ou sin(2) dont je ne sais que faire... Si quelqu'un a fait ce développement, peut-il me dire ce qu'il faut faire/ne pas faire comme développement(s) ?

[ansset]

pourquoi veux tu développer completement.
les solutions sont Asin(2x)+Bcos(2x) ( comprend pas le point de départ de Mickan sur ce point )
or on veux aussi :
f'(x)=2f(1-x)
soit 2Acos(2x)-2Bsin(2x)=2Asin(1-x)+2Bcos(1-x)
soit A(cos(2x)-sin(1-x))-B(sin(2x)+cos(1-x))=0
il suffit de prendre deux valeurs de x ( par exemple x=0 et x=1 ) pour voir qu'on ne peut avoir les même A et B quelque soit x,
sauf si A et B sont nuls.