Proba loi normale : variations

[invite005f4666]

Bonjour,

Il existe un sujet similaire ici.
Cependant, celui-ci fait intervenir 2 mesures, et je souhaite investiguer le cas, où elles ne sont pas indépendantes.

Sujet :
Sur une pièce, on contrôle 2 dimensions, x et y. Elles doivent valoir respectivement 4,00 cm et 6,00 cm. On tolère sur chaque dimension 0,1 mm en plus ou en moins.
On mesure les pièces faites par un ouvrier ; on trouve que la moyenne des x est 4,001 cm et celle des y 6,002 cm. Les écarts-types sont 0,005 mm et 0,006 mm respectivement.
En supposant les distributions des x et y normales et indépendantes, quel sera le pourcentage de rebuts de l'ouvrier ?

On veut :
, avec
, avec
d'où :
par lecture dans une table de loi normale

soit un total de 4,98% pour la dimension x.
par lecture dans une table de loi normale

soit un total de 11,46% pour la dimension x.
Comme les 2 distributions sont supposées indépendantes, l'ensemble de la production de l'ouvrier aura comme rebut, la somme des rebuts en x et en y, soit : 16,44%.

Jusque là, on n'a rien fait de plus que dans l'exercice proposé en lien.
Maintenant, considérant que des pièces défectueuses en x et en y doivent bien exister, dans l'estimation faite ci-dessus, ces pièces seront comptées deux fois.

D'où mes questions suivantes:
1) Est-il possible d'estimer le nombre de pièces simultanément défectueuses selon les deux dimensions SANS hypothèse supplémentaire ?
2) Comme je pense que la réponse au 1) est non, en supposant, en plus, que parmi un échantillon de 250 pièces défectueuses, 6 le soient selon x et y, comment est modifiée l'estimation de la proportion de pièces mauvaises faites par l'ouvrier ?

Là, je fais 2 raisonnements distincts, dont je ne sais pas dire lequel est bon.
a) le nombre de pièces défectueuses selon les deux dimensions vaut 6/250 = 2.4% des rebuts. Donc finalement seuls 16,44-2.4=14.04% des pièces seront globalement mauvaises.
b) je calcule un sigma fonction du sigma des 2 distributions :


Ce qui nous donne 2,4%/0.28 = 8.57% de pièces doublement défectueuses dans la population totale et donc un rebut de seulement 16.44-8.57=7.87%

Mon dilemme vient de ce que et sont estimés sur la population totale, alors que j'introduis un échantillon limité à 250 pièces dans l'hypothèse 2)

N'hésitez pas à me demander des précisions, si je n'ai pas été suffisamment clair.

Merci d'avance.
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[invite179e6258]

bonjour,

une pièce peut être défectueuse dans ses deux dimensions simultanément, donc ce n'est pas vrai que le pourcentage de rebuts s'obtient en sommant les pourcentages pour chaque dimension, même dans le cas indépendant.

il faut raisonner ainsi : je note Rx l'événement : "rebut à cause de x" et Ry pour la dimension y. R est l'événement : "la pièce est rebutée". S'il y a indépendance on a 1-Pr(R) = (1-Pr(Rx))(1-Pr(Ry)) parce qu'une pièce n'est pas rebutée (proba 1-Pr(R)) si et seulement si ses deux dimensions sont simultanément correctes.

dans le cas non indépendant il faut une information supplémentaire sinon on ne peut pas faire le calcul.

[invite005f4666]

Bonjour et merci toothpick-charlie

Donc, si j'ai bien tout compris, les proba Pr(Rx) et Pr(Ry) sont les pourcentages calculés plus haut, et donc, dans l'hypothèse d'indépendance,
Pr(R)=1-(1-0.0498)(1-0.1146)=0.1587

Maintenant les pièces rebutées selon les 2 dimensions le seront selon la proba :
Pr(Rxy)=Pr(Rx).Pr(Ry)=0.0498*0 .1146=0.0057

Soit 6 pour 1000. Donc, avec mon hypothèse de 6 sur 250, j'introduis une forte corrélation entre les deux dimensions, à laquelle je ne m'attendais pas

Je peux essayer de voir le problème autrement : en gardant l'hypothèse d'indépendance, quelle est la probabilité pour que 6 pièces parmi un échantillon de 250 soient rebutées en x et y ?
Ici, je veux donc combiner 2 lois normales (vrai/faux ?)
Si je note N(moyenne;écart-type), j'ai Nx(40.01;0.05) et Ny(60.02;0.06) (en passant, je viens de voir que j'ai mis un zéro de trop, dans les écarts-types de l'énoncé)
Pour les combiner, je devrais ajouter les moyennes et les variances, soit :
Nxy(100.03;0.07814)

Première question : ça ne me semble pas avoir grand sens, d'ajouter la moyenne des 2 dimensions...
Deuxième question : comment j'utilise Nxy pour calculer la proba des 6 pièces sur 250 ?

Merci d'avance

[gg0]

Bonjour.

"Donc, avec mon hypothèse de 6 sur 250, j'introduis une forte corrélation entre les deux dimensions, à laquelle je ne m'attendais pas"
Pas obligatoirement. Ce peut être un cas rare, où la valeur obtenue est loin de la moyenne.

"en gardant l'hypothèse d'indépendance, quelle est la probabilité pour que 6 pièces parmi un échantillon de 250 soient rebutées en x et y ?"
Calcul facile (*) avec la loi binomiale B(250;0,0057); on obtient 0,0027.
C'est faible, mais pas impossible : la probabilité de gagner au loto est faible, mais il y a très souvent des gagnants.

Je n'ai pas trop compris la suite, tu sembles faire des calculs "à priori", sans rapport avec la question posée.

Cordialement.

(*) On connaît la probabilité pour une pièce d'être doublement rebutée, ça suffit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite005f4666]

Ouiiii !

Merci gg0 !
En fait je m'obstinais à vouloir utiliser la loi normale, alors qu'il s'agit d'une application directe de la loi binomiale...

Bon : comme j'ai 7 pages d'exercices qui datent de mes cours, vous devriez me revoir rapidement

Cordialement.