Condition nécessaire d'application inversible

[invitede1cf5de]

Bonjour à tous,

Pour mon examen, je dois savoir démontrer que la résolvante d'un système linéaire d'équations différentielles à coéfficients variables est linéaire. La démonstration n'est pas telle quelle dans le cours, par contre, dans mon cours, on démontre que la résolvante est inversible donc je me posais une question :

Est-ce qu'une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une application soit inversible est qu'elle soit linéaire ?

C'est-à-dire, dans les applications linéaires, il peut y avoir des applications inversibles et non inversibles, mais dans les applications non-linéaires, il n'y pas d'application inversible ? Si la réponse est oui, pour démontrer la linéarité de la résolvante, je peux démontrer l'inversibilité de la résolvante et en déduire qu'elle est linéaire.

Merci de vos réponses.
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[inviteea028771]

Il y a plein d'applications non linéaires qui sont inversibles. L'exemple le plus simple : les translations

[invitedd63ac7a]

Est-ce qu'une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une application soit inversible est qu'elle soit linéaire ?

La réponse est clairement non. En bref une application y=f(x) (je ne précise ni les espaces de départ ni d'arrivée) est inversible si et seulement si il existe une application g telle que x=g(y). f peut être linéaire ou non, dans ce cas g (si g existe) est linéaire ou non.

C'est-à-dire, dans les applications linéaires, il peut y avoir des applications inversibles et non inversibles, mais dans les applications non-linéaires, il n'y pas d'application inversible ? Si la réponse est oui, pour démontrer la linéarité de la résolvante, je peux démontrer l'inversibilité de la résolvante et en déduire qu'elle est linéaire.

Pour ce que j'en comprends (je n'ai peut être pas compris la question !) il s'agit du théorème des fonctions implicites, tout au moins d'une de ses conséquences.
Soit y=f(x) une fonction non forcément linéaire, avec y0=f(x0) en un point particulier (x0;y0) dans IR^(2n) . Le théorème dit (je simplifie) si la dérivée de f en x0 est inversible (il s'agit d'une application linéaire), alors f est localement inversible en (x0;y0).