intervalle et connexe

[invite6d425481]

J’ai besoin de vos contributions sur l’exercice suivant .J’ai essayé de le traiter mais je ni suis pas arrivé. Ainsi je vous remercie d’avance pour lesdites contributions. Considérons I un intervalle de } tel qu’il existe deux ouverts etdisjoints devérifiant
.
On veut montrer que :et
.Considéronset posons

(a)Montrons que est ouvert de.
(b)On suppose que .
i. Montrer que admet une borne supérieure notée
ii Montrer que .
iii. montrer que si alors

iv. Déduire de ii que
v. déduire de iii que et par conséquent a
vi. montrer que si alors

vii. déduire de vi et de que

viii. déduire de vii et de la définition de que
-on pose .
Par une demarche analogue et en utilisant la borne infèrieure,montrer que .
-peut on en déduire que et

Voilà comment j’ai raisonné:
-1-(a)est un ouvert de car intersection finie d’ouvert de.
est un ouv ert car est un intervalle de c’est-à-dire un connexe c’est-à-dire ouvert et fermé.j’ai même un problème avec la définition de connexe est-ce que cela veut dire que les seuls ensembles à la fois ouvert et fermé de sontet?
(b)-i J’ai voulu utiliser le théorème qui dit que toute partie non vide et majorée de
admet une borne supérieure.comment montre t’on que ?
-majorée car.Or les sous ensembles bornés de
sont les intervalles.
iipar définition de la borne supérieure.
iii voici mon raisonnement :
et
ou.orce qui n’est clairement pas le but recherché.orcar
est un ouvert de.
iv) Déduire de ii que .
làje pense plutot que car est la borne supérieure de.ainsi je dirai plutot que c'est ai-je raison?
v)-d'aprèsii or si (est-ce que l'on a ou).ainsi
viii)-j'ai une hypothèse mais je ne suis pas sure qu'elle soit bonne.je sais que vii) nous dit
et est la borne supérieure de
doncmais cela implique t'il que ?
5)-je n'est pas d'idée pour cette question.
merci d'avance pour les clarifications que vous m'apporterais.
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[Tiky]

Bonjour (ne serait pas un luxe...)

Dans la question (a) on te demande de montrer que est un ouvert de et non de . Ce n'est pas la même chose.
Les ouverts de sont par définition de la topologie induite les intersections des ouverts de avec . Il suffit de donc de montrer que est un
ouvert de . De plus il existe des intervalles qui ne sont pas ouverts (pour la topologie usuelle évidemment), par exemple .

Ta rédaction est particulièrement incompréhensible. Je pense notamment à ce passage ci :

J’ai voulu utiliser le théorème qui dit que toute partie non vide et majorée de
admet une borne supérieure.comment montre t’on que ?
-majorée car.Or les sous ensembles bornés de
sont les intervalles.

Les sous-ensembles bornés de ne sont pas que les intervalles par ailleurs !
Pour la question (b).i il suffit de remarquer que donc est majoré par tout simplement et la propriété de la borne supérieure permet de conclure.

Je ne vois pas ce que vient faire la "définition" de dans ta réponse à la question (b).ii. Attention une borne supérieur d'une partie de n'est pas forcément un élément de cette partie. Il y a bien quelque chose à démontrer ici.

Ta réponse a la question (b).iii est toute aussi absconse. Il faut commencer par prouver que . En effet on a car est un majorant de . Si ,
c'est terminé puisqu'on a fait l'hypothèse que et on vient de montrer que . Sinon mais et donc . C'est absurde. Tu déduis le résultat du fait que est un ouvert de et donc est voisinage (dans ) de chacun de ses points.

La question (b).iv n'a pas de sens. Qu'est-ce que ? On n'est sous les hypothèses de la question précédente ??

Enfin la question (b).v découle du fait que et que mais .

[invite6d425481]

au sujet de ma rédaction vous allez m'excuser,visiblement je ne m'aitrise pas encore très bien le LATEX.
<<J’ai voulu utiliser le théorème qui dit que toute partie non vide et majorée de
admet une borne supérieure.comment montre t’on que ?
-majorée car.Or les sous ensembles bornés de
sont les intervalles.>> dans ce passage c'était plutot .

[Tiky]

C'est évident que ... mais le plus gênant c'est que tu crois, ou croyais du moins, que les intervalles sont bornés...
Il existe des parties bornées qui ne sont pas des intervalles :
Il existe des intervalles qui ne sont pas bornés :

Je te rappelle qu'une partie de est bornée par définition si elle est contenue dans une boule ouverte. Autrement est borné s'il existe un réel tel que :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6d425481]

bonjour.Je remercie tiky pour ses clarifications.Je voudrais apporter d'autres éléments à ses interrogations et j'aurais aussi besoin de votre aide pour de nouvelles incompréhensions.
-La definition de connexe est la car j'avais des doutes sur cette derniere et j'attendais des clarifications de votre part.
-je pense qu'à la question (b) -iv est un rayon ,et que c'est l'ensemble des points situés a dont on veut savoir s'il est contenu dans .Ce n'est que ce que je pense donc si j'ai tord corrigez moi.

[Tiky]

Bonjour,

Un espace topologique est dit connexe s'il n'est pas une union disjointe de deux de ses ouverts non vides.
De manière équivalente, un espace topologique est connexe si ses parties à la fois ouvertes et fermées sont seulement l'ensemble vide et l'espace tout entier.
Par exemple muni de sa topologie usuelle est connexe.
L'objectif de ton exercice est de démontrer que les intervalles de munis de la topologie induite par celle de sont connexes.

Pour la question (b)-iv, le problème est que n'est défini. Il se trouve que dans la question précédente, on prouve avec des conditions supplémentaires qu'il existe un
vérifiant une certaine propriété, mais sauf mention contraire, il n'y a aucune raison de supposer qu'il s'agisse du même dans les deux questions... bref soit l'énoncé est mal recopié, soit il contient une erreur.
Le plus probable est qu'il faille supposer les hypothèses de la question (b).iii dans la (b).iv et corriger l'erreur de signe comme tu avais proposé de le faire dans ton premier message.

[invite6d425481]

bonjour,
A la question b-iv) j'ai considérer le défini dans la question b-iii)