Groupe spécial linéaire

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Voila je planche sur un sujet et je bute sur la dernière question qui me parait erronée.
Voila on définit dans un premier temps Mn(Z) l'ensemble des matrices à coefficients dans Z et Gln(Z) (resp. Sln(Z)) le groupe des matrices inversibles (respec. de déterminant égal à 1)

1) Justifier que Gln(Z)={M € Mn(Z)| det(M)=+- 1}

Pour cette question l'inclusion de la droite vers la gauche est trivial, reste l'autre inclusion pour cela j'ai pris une matrice de Gln(Z) A, A est donc inversible et on a la relation A.A^-1=In en passant au déterminant on obtient det(A).det(A^-1)=1 or det(A) et det(A^-1) appartiennent à Z donc on a soit det(A)=det(A^-1)=-1 soit 1.

2)Est-ce que GLn(Z)=GLn(Q) intersection Mn(Z) ?

L'inclusion de la gauche vers la droite est évidente. Voyons l'autre inclusion on prend alors un élément de GLn(Q) intersection Mn(Z) que l'on appelle A alors det(A) est non nul et comme A appartient aussi à Mn(Z) alors A appartient à GLn(Z)

3) Soit G le groupe de SL2(Z) engendré par s et t.
et


Montrer que G=SL2(Z). On pourra procéder par l'absurde et considérer un élément u = dans SL2(Z)\G tel que |a|+|c| est minimal.
Alors déjà l'inclusion de la gauche vers la droite est évidente car G est un sous-groupe de Sl2(Z).

Pour l'autre inclusion j'ai essayé de considérer le déterminant de la matrice u, de considérer également le déterminant de la matrice engendré par les matrices s et t les deux déterminants sont égaux à 1 mais cela ne donne rien de fructueux. Déjà le terme minimal me pose un problème doit-on considérer que |a|+|c|=1 sinon si on prend 0 la matrice n'est plus inversible... et ensuite pourquoi les matrices s et t engendreraient Sl2(Z) alors que elle n'engendrent pas l'identité qui est bien dans SL2(Z) ???

Merci encore de votre aide, je suis à l'écoute de toute vos remarques
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[Amanuensis]

Juste sur un point:

et ensuite pourquoi les matrices s et t engendreraient Sl2(Z) alors que elle n'engendrent pas l'identité qui est bien dans SL2(Z) ???

Que valent les puissances de s?

[Seirios]

Déjà le terme minimal me pose un problème doit-on considérer que |a|+|c|=1 sinon si on prend 0 la matrice n'est plus inversible...

Il faut que |a|+|c| soit minimal parmi les matrices de (il faut en particulier montrer que ce minimum est bien atteint), donc |a|+|c| ne sera pas nul. Ensuite, je pense que l'idée est de trouver une matrice tel que ait une quantité |a|+|c| qui soit inférieure à cette de , ce qui aboutira a une contradiction (par minimalité).