Proba, fonction de masse

[invite14058c8d]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exo, et j'aurai besoin d'aide:

On jette successivement des balles de facon aléatoire dans 4 pots qui peuvent contenir jusqu'à 2 balles chacun.
Soit Y le nombre de lancés pour que 2 balles atterrissent dans le même pot.
Trouver la fonction de masse de Y.

J'ai le corrigé mais j'ai envie de comprendre comment arrivé à la réponse.

Je comprends que Y=2,3 ou 4. Si on a plus de 4, alors les 2 balles se retrouveront forcement dans un même pot. Et si on a moins de 2, on aura jamais 2 balles dans le même pot.

Mon corrigé dit que P[Y=2]=1/4, P[Y=3]=3/8, P[Y=4]=3/8.

C'est ici que j'ai besoin d'aide, j'aurai besoin de comprendre comment penser.

Par exemple pour Y=2, je vois qu'on a une chance sur 4 après le premier lance que les 2 balles soient dans le même pot.

Pour Y=3, on a 3/4 de chance que la balle atterrisse dans un autre pot, puis 1/2 de chance qu'elle atterrisse dans l'un des 2 pots semi occupés.

Pour Y=4, je sais pas vraiment comment procéder.

Mais on devrait pas aussi prendre en compte l'ordre?

Je m'embrouille un peu...

Merci de votre aide,

Jonathan
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[Amanuensis]

Pour Y=4, je sais pas vraiment comment procéder.

Procéder comme fait pour le cas Y=3.

En écrivant "on a 3/4 de chance que la balle atterrisse dans un autre pot" (traduit comme "on a une probabilité égale à 3/4 que les deux premières balles atterrissent dans des pots distincts"), on parle de la probabilité que Y>2, et on étudie ensuite ces cas, i.e., la probabilité que la troisième balle tombe dans un un pot occupé sachant Y>2 ("1/2 de chance qu'elle atterrisse dans l'un des 2 pots semi occupés.").

Pour le cas Y=4, faut pareil prendre les cas Y>3 et leur probabilité. Cette probabilité est de? Et comment se présentent les balles si Y>3? Qu'en déduire pour la probabilité que la quatrième balle tombe dans un pot occupé sachant Y>3?

Mais on devrait pas aussi prendre en compte l'ordre?

Pourquoi?

[Médiat]

Si on a plus de 4, alors les 2 balles se retrouveront forcement dans un même pot.

Je ne vois pas pourquoi cette remarque permet de ne pas calculer P[Y=5]. Effectivement, P[Y=k]=0, pour k > 5. Et pour P[Y=4], je ne trouve pas 3/8.

[Amanuensis]

Si p(Y=2)=1/4, p(Y=3)=3/8 et p(Y=n)=0 pour toute valeur n autre que 2, 3 ou 4, on a p(Y=4)=3/8.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Mon message précédent est correct, mais la prémisse est fausse. C'est j'imagine ce que le corrigé (erroné donc) a dû appliquer.

[Médiat]

Certes (avec le "si"), mais p(Y=5) n'est pas égal à 0 !

[EDIT] Nous sommes donc d'accord

[invite14058c8d]

Merci de votre aide!

C'est tres possible que le corrigé soit incorrect.

J'ai donc pour Y=4, 3/4 x 2/4 x 3/4 = 9/32

Pour Y=5, 3/4 x 2/4 x 1/4 = 3/16

Le problème c'est que si on additionne ces 4 probabilités, la somme n'est pas 1....

d'ou vient mon erreur?

[Amanuensis]

J'ai donc pour Y=4, 3/4 x 2/4 x 3/4 = 9/32

Incorrect. Pouvez-vous développer la justification de chaque terme, qu'on voit où est l'erreur probable?

[invite14058c8d]

Pour Y=4, On a 3/4 de chance que la deuxième balle tombe dans un deuxième pot puis 2/4 de chance que la troisième balle tombe dans le troisième pot, puis 3/4 de chance que la quatrième balle tombe dans un des 3 pots semi occupé.

Pour Y=5, 3/4 pour la seconde de tomber dans un pot non occupé, puis 2/4 pour la troisième puis 1/4 pour la quatrième, et pour la cinquième 4/4.

[Amanuensis]

Pour Y=4, On a 3/4 de chance que la deuxième balle tombe dans un deuxième pot puis 2/4 de chance que la troisième balle tombe dans le troisième pot, puis 3/4 de chance que la quatrième balle tombe dans un des 3 pots semi occupé.

C'est moi qui ait écrit une erreur, 9/32 est correct.

Votre erreur est pour Y=5, et est juste numérique, 3/4 x 2/4 x 1/4 ne fait pas 3/16

[invite14058c8d]

C'est donc Y=5 qui est faux?

[invite14058c8d]

Exact, je trouve 3/32!

Merci beaucoup!!