Il y a il un intervalle plus grand à un autre ?

[mtrtf1]

bonsoir, nous savons tous que quelque soit la distance entre les deux fins d'un intervalle , il y a '' un infini des nombres'' dans cet intervalle , donc qui a plus de nombres l'intervalle (0;1) ou l'intervalle (0;5) ?
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[Médiat]

Bonsoir,

Dans et l'intervalle [0, 5] contient plus d'éléments que l'intervalle [0, 1].
Dans l'intervalle [0, 5] contient le même nombre d'éléments que l'intervalle [0, 1], à savoir .
Dans l'intervalle [0, 5] contient le même nombre d'éléments que l'intervalle [0, 1], à savoir .
.

[Médiat]

J'ajoute que je vous ai répondu en prenant en compte votre texte, où il est question de nombre d'éléments, mais que même dans IR, en théorie de la mesure, , pour la mesure usuelle, l'intervalle [0, 5] est 5 fois plus grand que l'intervalle [0, 1]

[mtrtf1]

merci , mais pour quoi, une démonstration est possible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

pour montrer que [0,1] et [0,5] ont le même nombre d'éléments il suffit de considérer l'application du premier vers le second x -> 5x qui est une bijection.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour le cardinal de Q --> Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

Pour le cardinal de R --> Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Argumen...nale_de_Cantor


Cordialement

[Tryss]

bonsoir, nous savons tous que quelque soit la distance entre les deux fins d'un intervalle , il y a '' un infini des nombres'' dans cet intervalle , donc qui a plus de nombres l'intervalle (0;1) ou l'intervalle (0;5) ?

Et même si on considère ces intervalles comme des intervalles de R, il y a plusieurs réponses, qui dépendent du sens auquel on entend "plus grand" :

1) Au sens de l'inclusion des ensembles, (0;5) est plus grand que (0;1), car (0;1) est inclus dans (0;5). C'est dans ce sens que l'on peut dire aussi que Q est plus grand que N

2) Au sens des cardinaux, (0;5) et (0;1) sont de même taille (= de même cardinal), car il existe une bijection entre les deux.

3) Au sens de la mesure (de Lebesgue), (0;5) est plus grand que (0;1), car (0;5) est de mesure 5, tandis que (0;1) est de mesure 1


Ces trois notions de "taille" sont bien distinctes et on toutes les 3 un intérêt.

C'est le "sens" 3) qui se rapproche le plus de la notion intuitive de longueur/aire/volume. Par contre, si on veut "compter" les éléments, c'est le sens 2) qui est approprié.