suite récurrentes , DL

[invitef639ad4f]

Bonjour a tous ,
alors voila , je bloque sur la derniere question de mon exercice , je ne pense pas que ce soit la question la plus difficile mais je n'arrive pas a voir quoi faire. Enfin je vous explique :

On a une suite récurrente f(U(n))=U(n+1)
avec U(n+1)= U(n) / (1+sqrt(U(n)))

1) jai montré quelle converge
2) fallait trouver un a tel que U(n+1)^a - U(n)^a tende vers une limite differente de 0! jai trouvé a=-1/2 (DL) et la limite est 1/2
3)jai trouvé un equivalent de Un = 4/(n^2)
4) j'ai trouvé un equivalent de U(n+1)^a - U(n)^a - 1/2 qui est -1/(4n)
et enfin il faut trouver un DL de Un a deux termes. Un= 4/(n^2) + ????

J'ai essayé de réecrire U(n+1)^a - U(n)^a - 1/2 et faire Césaro comme pour la question 3 mais bien sur ca marche pas , jai aussi remplacer U(n+1) par son expression et faire des DL partout mais rien a faire.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite51d17075]

si je continue ce que tu as fait :
U(n+1)^(-1/2)- Un^(-1/2) eq 1/2-1/4n
U(n+1)^(-1/2) eq (n+1)/2 -1/4n ( en prenant U(n) eq à 4/n² +o(1/n²))
U(n)(-1/2) eq n/2-1/4(n-1) d'ou
U(n) eq (4/n²)*(1/(1-1/4(n-1))²
U(n) eq (4/n²)*(1+1/2(n-1))
U(n) eq 4/n² +2/(n²(n-1))

[invite51d17075]

si je continue ce que tu as fait :
U(n+1)^(-1/2)- Un^(-1/2) eq 1/2-1/4n
U(n+1)^(-1/2) eq (n+1)/2 -1/4n ( en prenant U(n) eq à 4/n² +o(1/n²))
U(n)(-1/2) eq n/2-1/4(n-1) d'ou
U(n) eq (4/n²)*(1/(1-1/4(n-1))²
......

j'ai fait une erreur ds la mise en facteur de (4/n²) !!
à reprendre. sorry

[invite51d17075]

avec la correction
au final je trouve
U(n)=(4/n²)*(1+1/n(n-1))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef639ad4f]

Merci pour votre réponse rapide.
Je vois !! finalement ce n'est pas du tout compliqué , je pense que j'avais le nez trop collé sur mon cahier et je narrivais pas a prendre le recul nécessaire. j'avoue que les calculs ne sont pas mon fort.
Merci beaucoup!

[invitef639ad4f]

après calcul je ne trouve pas comme vous . En vrai , je ne comprends pas pourquoi vous négligez des termes , car moi je trouve U(n)=(4/n²)*(1+1/n(n-1)+1/4n^2(n-1)^2) c'est just parcequ'on veut un DL a deux termes ? si c'était a trois termes mon résultat serait alors juste ?
Ensuite il y a une petite chose que je ne comrpends pas , au début pour arriver a U(n+1)^(-1/2) eq (n+1)/2 -1/4n , si je travaille avec des petits o , j'ai U(n+1)^(-1/2) - n/2 +o(n) = 1/2-1/4n + o(1/n) pourquoi jai le droit de passer directement a un equivalent en sachant que si je réecris U(n+1)^(-1/2) = 1/2-1/4n + o(1/n)+ n/2 +o(n) les termes plus petit que n cest a dire tous sauf n/2 vont disparaitre non ?

[invite51d17075]

après calcul je ne trouve pas comme vous . En vrai , je ne comprends pas pourquoi vous négligez des termes , car moi je trouve U(n)=(4/n²)*(1+1/n(n-1)+1/4n^2(n-1)^2) c'est just parcequ'on veut un DL a deux termes ? si c'était a trois termes mon résultat serait alors juste ?
Ensuite il y a une petite chose que je ne comrpends pas , au début pour arriver a U(n+1)^(-1/2) eq (n+1)/2 -1/4n , si je travaille avec des petits o , j'ai U(n+1)^(-1/2) - n/2 +o(n) = 1/2-1/4n + o(1/n) pourquoi jai le droit de passer directement a un equivalent en sachant que si je réecris U(n+1)^(-1/2) = 1/2-1/4n + o(1/n)+ n/2 +o(n) les termes plus petit que n cest a dire tous sauf n/2 vont disparaitre non ?

non, c'est moi qui ait mal compris votre énoncé :
j'ai compris 2nd terme celui après 4/n²
mon second est le même que le votre.( 1+1/n(n+1)
vous allez jusqu'à un troisième avec un DL, ce que je n'ai pas fait.
il n'y a pas contradiction, je me suis juste arrété avant.

je n'ai pas vérifié à trois termes. !
ps : jusque là tous vos calculs étaient justes, et j'imagine que votre calcul du troisième terme doit être bon.

cordialement.

[invite51d17075]

et pardon, je n'ai pas compris la fin de votre mess.
je suppose que votre résultat vient d'un DL.
dans la démarche, c'est bien plus propre dans l'ecriture que ce que j'ai fait ( c'est dangereux les o()
il s'avère que mon "approximation" correspond à votre résultat ( sans le 3ème terme qui est bien un o(second terme ))
ce qui confirme les 2 manières.
maintenant, pour le 3ème terme, ( s'il le faut ) vous avez raison de passer par un DL propre.