coordonées d'un projeté orthogonal sur une droite

[invite9c5f7482]

Bonsoir, on m'a donné exercice de maths,et c'est celui -ci: (o,i,j,k)est un repère orthonormé de l'espace et on me demande de déterminé les coordonnées du projeté orthogonal d'un point A(3,-1,2);dans un repère (o,i,j,k),sur une droite d'équation:
D: x-2y=0 et y+z=0 et moi j'ai essayé de résoudre ce système et ça m'a donné y=-z;x+2z=0;2y=x;-2z=x donc pour moi les solutions sont(x,2y,-2z) donc par conséquent les coordonnées du projeté sont(1*3,2*-1,-2*2)=(3,-2,-4).mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon.

Et j'ai écris: D : {x=2; z=-y; y=y .

Posons un paramètre t tel que y=t donc {x=2t;y=t;z=-t le vecteur directeur u a pour coordonnées u(2,1,-1).
et AH(vecteur AH)*u=0=>(xh-3,yh+1,zh-2)*1(2,1,-1)=0=>2(xh-3)+yh+1-(zh-2)=0=>2xh+yh-zh=3=>2t+t+t=3=>4t=3=>t=3/4(H appartient à D donc xh
=x,yh=y,zh=z) donc x=xh=2*3/4=3/2;yh=y=3/4 et zh=z=-3/4. donc H(3/2;3/4;-3/4).

Cependant mon prof à écris dans le corrigé:
{x=2y;y=y;z=-y le vecteur directeur u c'est u(2,1,-1) et on a AH*u=0 ensuite 2xh+yh-zh-3=0 donc H appartient à D donc{ xh=2yh;yh=yh;zh=-yh
d'ou xh=1;yh=1/2 et zh=-1/2 on a aussi 4yh+yh+yh-3=0 donc 6yh -3=0 d'ou yh=1/2 et H(1,1/2,-1/2) .
Bon on vois bien que les coordonnées de H que j'ai trouvé sont égale à 3/2* les coordonnée du H de mon professeur mais bon la façon de rédigé change et je ne sais pas si ce que j'ai fais est vraiment bon.
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[invite9c5f7482]

J'ai fais une erreur parce que j'ai écris que 2xh=2t or 2xh=4t donc 6t=3 et t=1/2.

[gg0]

moi j'ai essayé de résoudre ce système et ça m'a donné y=-z;x+2z=0;2y=x;-2z=x donc pour moi les solutions sont(x,2y,-2z) donc par conséquent les coordonnées du projeté sont(1*3,2*-1,-2*2)=(3,-2,-4).mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon.

Évidemment non !
Il n'y a pas de raison qu'un calcul soit bon sans raison. ici, tu n'as pas utilisé le fait que tu veux le projeté orthogonal (c'est quoi, au fait). D'ailleurs ce point n'est même pas sur la droite !

Ensuite, le H dont tu parles est le projeté orthogonal, non ? mais tu avais déjà ses coordonnées, pourquoi calculer ?

Bon, en étant raisonnable, le mieux est de vraiment traiter clairement la question (le corrigé du prof ne te sert à rien vu les questions que tu poses) :
On cherche les coordonnées du point H, projeté de A(3,-1,2) sur la droite d'équations (x-2y=0 et y+z=0); on suppose bien entendu qu'on est dans un repère orthonormal du plan. Notons x, y et z ces coordonnées. On a alors x=2y et z=-y puisque le point est sur la droite. D'autre part, par définition de "projeté orthogonal", le vecteur AH est perpendiculaire à la droite, donc si u est un vecteur directeur de la droite, le produit scalaire u.AH est nul.
On cherche un vecteur directeur (n'importe lequel), on traduit u.AH=0 avec les coordonnées (2y,y,-y) de H et on trouve une seule solution vu qu'il n'y a qu'un seul point.

Cordialement.

NB : " on vois bien que les coordonnées de H que j'ai trouvé sont égale à 3/2* les coordonnée du H de mon professeur" ce qui n'empêche pas que ce soit faux !! la droite passe par O, donc les coordonnées de 2 points de la droite sont toujours proportionnelles.

[invite9c5f7482]

Ooola ce que j'ai "écris" sur futura(copié collé) et ce que j'ai écris sur ma feuille sont deux chose différente,j'ai écris sur ma feuille:

D : {x=2y; z=-y; y=y . et U(2,1,-1) . Posons un paramètre t tel que y=t donc {x=2t;y=t;z=-t,et on sais que H appartien a D donc xh=x,yh=y,zh=z ensuite AH*u=2xh+yh-zh=3=>6t=3=>t=1/2 d'ou H(1,1/2;-1/2).Je ne sais pas ce qui s'est passé quand j'ai collé le texte mais ce n'est pas ça du tout que j'ai écris!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c5f7482]

Ce que j'avais essayé de collé c'est ça "D : {x=2y;z=-y;y=y .
Posons un paramètre t tel que y=t donc {x=2t;y=t;z=-t le vecteur directeur u a pour coordonnées u(2,1,-1).
et AH(vecteur AH)*u=0=>(xh-3,yh+1,zh-2)*1(2,1,-1)=0=>2(xh-3)+yh+1-(zh-2)=0=>2xh+yh-zh=3=>2t+t+t=3=>4t=3=>t=3/4(H appartient à D donc xh=x,yh=y,zh=z) donc x=xh=2*3/4=3/2;yh=y=3/4 et zh=z=-3/4. donc H(3/2;3/4;-3/4)." mais j'avais fais une petite erreur de calcul car 2xh=4t d'ou 6t=1/2.

[gg0]

Ok.

rappel : tu peux en mode avancé (toujours préférable) avoir un aperçu avant d'envoyer.

[invite9c5f7482]

Oui effectivement,c'est vrai.