Equations Différentielles et continuité

[Scorp]

Bonjour,

Je me pose une petite question qui me parait simple et pourtant j'ai du mal à retrouver mes billes là dedans:
Si je considère une équation différentielle extrêmement simple du type et la condition initiale , alors la résolution dépend de K (K=0 ou ≠0 car un terme en 1/K apparait).

Mais que peut-on dire des solutions pour K nulle et K non nulle. Notamment, est ce que si je fais tendre K vers 0, mes solutions obtenues à K non nulle vont bien tendre vers celles obtenues à K=0 ? Est ce que ce problème dépend de la régularité de ma fonction au second membre f() ?

- si je prends f(x) = a*x ca semble bien marcher non ?
- mais si je prends des trucs plus bizarre type f(x) = d(x-x0) ou d() serait un dirac en x0 ?

Est ce qu'il existe une réponse ou démonstration général de ce problème de "continuité" (pas sûr que le terme soit bien choisi ici)
Désolé si le problème n'est pas bien posé, mais je suis plus physicien que matheux, j'espère que ca ne gènera pas trop ...

Merci d'avance
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[Tryss]

Bonne question.

Déjà on peut voir que si il y a convergence, elle ne serra que locale :

Si on prend l'équation , avec :

Pour K=0, la solution est bornée, Pour K non nul elle n'est pas bornée : aucun espoir de convergence uniforme.


Ceci dit, je te propose le resultat suivant :


Dans le cadre des équations différentielles ordinaires, et en se limitant aux équations au sens fort (donc pas de distributions), dès que l'on peut appliquer Cauchy-Lipschitz, cela ne dépend que de la continuité par rapport à K:

Si , alors



Donc si la fonction est -Lipschitzienne par rapport à K,



Ce qui entraine, par le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe c dans [0,t] tel que



Ainsi,

[Scorp]

Merci pour te réponse Tryss. Je vais essayer de rebondir pour voir si j'ai bien compris ...

1) Donc ta démo me permet de prouver que dans mon premier cas ( où k est une constante) on a bien

2) En revanche, pour le second cas () ton résultat ne s'applique pas car sauf erreur, pour appliquer Cauchy-Lipschitz il est nécessaire en premier lieu que le second membre soit continue ce qui n'est pas mon cas, c'est bien ca ?

En fait je cherche à comprendre ce qu'il se passe car physiquement (et donc mathématiquement aussi j'imagine), les solutions de (A) et (B) changent radicalement de nature:
(A) (k≠0)
(B) donc k=0
Ce changement de nature se voit facilement: sauf erreur, si j'impose la condition y(0)=0, alors le support des solutions (l'intervalle sur lequel les solutions sont non nulles) dans (A) est mais se réduit au singleton dans le cas (B)

Ainsi, dans ce cas particulier là où j'étudie avec k une constante, la partie est bien gentille et respecte bien les conditions pour appliquer Cauchy-Lipschitz (je ne pense pas me tromper en disant ca). Donc c'est bien la nature même de mon second membre qui change tout ici, le fait que ce soit un dirac ... J'ai bon jusque là où je fait fausse route ?

Enfin, dans le cas un poil plus général défini par avec k une simple constante, existe-t-il une condition sur la nature du second membre f (continuité, dérivabilité ou je ne sais quoi) qui m'assure (ou à l'inverse qui m'interdise) le résultat ??? Ce qui m'intéresse le plus c'est de justement comprendre les cas et situations où ca ne marche pas et où la nature des solutions change ...

Encore merci.

[Tryss]

Ainsi, dans ce cas particulier là où j'étudie avec k une constante, la partie est bien gentille et respecte bien les conditions pour appliquer Cauchy-Lipschitz (je ne pense pas me tromper en disant ca). Donc c'est bien la nature même de mon second membre qui change tout ici, le fait que ce soit un dirac ... J'ai bon jusque là où je fait fausse route ?

Attention, ici tu inverses les rôles de y et y' par rapport à ma démonstration et au théorème de Cauchy-Lipschitz. La bonne écriture (pour la même équation) et pour se mettre dans les conditions d'application du théorème de Cauchy-Lipschitz serrait



Et là, ça n'est plus du tout régulier par rapport à k !

D'ailleurs on voit bien que si l'équation est y(t) = f(t), alors il n'y a pas de solution pour des valeurs quelconques de y(0), mais uniquement pour y(0)=f(0). Le théorème de Cauchy-Lipschitz n'a donc pas pu s'appliquer





Par contre, et même si ici ça n'est pas la cause du "problème", quand le second membre est un Dirac ou même n'importe quelle fonction non régulière, les choses ont changé a un niveau fondamental. Mais c'est parce que l'équation elle même a changé de sens : la notion même de dérivée a changée de sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scorp]

Ok, et est ce que tu aurais de la documentation sur ce type d'équations différentielles lorsqu'on fait joujoue avec des distributions ? Est ce que la résolution change vraiment par rapport à une résolution d'equa diff classique ?

Pour te poser directement la question: selon toi, qu'est ce qui fait mathématiquement que la nature de la solution change (cf. le support des fonctions par exemple) selon que k soit nulle ou pas ? Tu penses qu'il faut plus aller chercher du côté du 1/k qui donne quelque chose de non régulier (comme tu l'as dit) ou alors du fait que j'utilise une distribution comme terme source ... voire un mixte des deux ???

J'aimerais vraiment pouvoir comprendre, au moins "avec les mains" pourquoi il y a ce changement de nature et est ce que, même sans résoudre directement l'équation, on pouvait prévoir ce type de comportement ...

Un gros merci en tout cas pour les réponses que tu m'as déjà donné ! Dur dur pour un physicien de retrouver ces billes là dedans surtout lorsqu'on use et abuse des distributions