Bonjour,
Je fais face a un exercice qui a l'air simple mais tant bien que mal je n'arrive
pas a le résoudre:
Nous avons f une application continue sur [a,b] dans R. On suppose que pour
toutes applications g une fonction en escalier.
On est l'intégrale de a à b de f(x)*g(x)dx soit nulle.
Montrer que f est nulle.
Si quelqu'un a le courage ou l'envi d'illuminer ma route je l'en remercie !
Cordialement.
Pauvre de moi j'ai trouvé et si jamais quelqu'un à bloquer sur cette exercice je donne la solution:
Démontrons cela par l'absurde.
Supposons qu'il existe un point k tel que f(k) > 0 ( pour le cas f(k)<0 on multiplie juste f par -1 pour ce ramener a cette démonstration)
Par continuité on a qu'il existe un h strictement positif tel que pour tout x appartenant a ] k - h, k + h [ tel que l'on est f(x) >= ( f(k)/2 ) > 0
Prenons une fonction en escalier g tel que g = 0 sur ] a , k -h [
g = 1 sur ] k - h , k + h [
g = 0 sur ] k + h , b [
( mon problème se situais ici, l'énoncé ne m'avais pas tapé a l'oeuil il était dit pour "toutes" fonction g en escalier et moi je pensais sans arrêt ou g = 0 donc je n'avais pas de
point de départ )
On a donc l’intégrale de a à b de f(x)g(x) qui est égale a l’intégrale de (k - h) à (k + h) de f(x)
car g vaut 0 sur les deux autre intervalle et en utilisant la relation de Chasles i.e en découpant les intervalles comme pour g on obtient le résultat voulu.
Intégrons maintenant les membre de cette l'inégalité f(x) > (f(k)/2) > 0 par rapport x sur les bornes (k-h) et (k+h)
On obtient donc que: intégrale de (k-h) à (k+h) de f(x)dx > intégrale de (k-h) à (k+h) de ( f(k)/2 )dx
cela nous donne que intégrale de (k-h) à (k+h) de f(x)dx > f(k)*h > 0 (comme l'intégration ne dépend pas de k au cas où il y aurait confusion)
comme intégrale de (k-h) à (k+h) de f(x) = intégrale de a à b de f(x)g(x) et ceci est strictement supérieur a 0 il y a contradiction.
Cordialement.
Démonstration simple par contraposée :
Si f est non nulle, alors il existe un pointtel que
Comme f est continue, il existe
On considère alors la fonction
Puis, par croissance de l'intégrale,
Donc soit f continue, si f est non nulle alors il existe une fonction en escalier g telle que l'intégrale de fg est non nulle.
Autrement dit, par contraposition: soit f continue, si pour toutes les fonctions en escalier g, l'intégrale de fg est nulle alors f est nulle
Merci pour cette démonstration, je n'aurai pas pensé a intercalé un epsilon entre f(x) et 0, bien que cela paraisse évident !
