limite d'intégrale d'une fonction continue sur intervalle borné

[invite3d710e98]

Bonjour,

je m’excuse de vous déranger mais j'ai un petit problème(absolument pas urgent!) pour comprendre la correction d'un exercice:

soit f une fonction continue de [0,1] sur R. Montrer que

Dans l'énoncé,on a une indication qui nous dit qu'on peut se ramener au cas où f(1)=0, puis séparer l'intégrale en deux.
c'est effectivement ce qu'on a fait en cours mais du coup on a prouver que et pas que car si f(1) est non nulle?pourquoi chercher à se ramener au cas f(1)=0?

comment auriez vous fait pour résoudre ce problème?

d'avance merci
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[Tiky]

Bonjour,

On a simplement que pour toute constante non-nulle, . Donc si tu as résolu le problème
pour f(1) = 0. Tu poses g(x) = f(x)-f(1) pour t'y ramener et tu utilises la linéarité de l'intégrale plus le petit résultat précédent pour trouver que la limite est bien f(1).

La raison pour laquelle on divise l'intégrale en deux est que la suite de fonction ne converge pas uniformément sur [0, 1]. Le problème est en 1.
Supposons donc sans perte de généralité que f(1) = 0.

Soit , on a que :


Je te laisse terminer. Utilise la continuité de f pour simplifier la seconde intégrale puis fais tendre vers et ensuite vers l'infini.

[Tiky]

Oups je voulais dire évidemment qu'on fait tendre d'abord n vers l'infini puis epsilon vers 0 ! L'ordre est important !

[inviteaf1870ed]

Moi j'utiliserais la formule de la moyenne : l'intégrale est égale à ncⁿf(c) pour c dans [0,1]. comme f est continue elle est bornée et on est ramené à la limite de ncⁿ pour c dans [0,1]. On traite le cas c=1, qui est celui de la fonction constante, et le tour est joué.

[A voir en vidéo sur Futura]