Intégrale définie d'une fonction continue ?

[invite79e760d4]

Bonjour,

1) Dans mon cours une méthode pour trouver une valeur approchée de l'aire d'un triangle mixtiligne consiste à calculer les aires additionnées de différentes aires de rectangles comprises dans l'aire du triangle mixtiligne.

Donc pour la fonction f(x)=x² sur l'intervalle [0 2] dont il faut imaginer que le graphique détermine avec l'axe x un triangle mixtiligne OAB, l'intervalle pourra être divisé en 4 sous-intervalles [0 0,5], [0,5 1], [1 1,5], [1,5 2]

Ainsi, le cours explique que pour l'aire du 1er rectangle, il faudra faire : f(0,25) . (0,5-0) = (0,25)² . 0,5

Ma question est la suivante : quelqu'un peut-il me confirmer que l'exposant ² provient bel et bien de l'application de la fonction f(x)=x² ?

-> Par analogie, si la fonction était par exemple f= faudrait-il alors faire pour le même exemple : f(0,25) . (0,5-0) = (?)

2) Je dois rechercher la valeur approchée du travail de la force F(x)=3 x N sur l'intervalle [1 4] en prenant 6 sous-intervalles.

Soit pour l'intervalle [0 0,5], mon calcul est-il juste si je fais :

3.(0,25).0,5 ?
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[invite79e760d4]

Ma formulation des questions est-elle suffisamment claire?

[invitec17b0872]

Bonjour,

Oui il s'agit en fait de l'approche de Riemann pour le calcul des intégrales. On décompose l'aire sous la courbe comme la contribution d'une certaine quantité de rectangles.
Un rectangle élémentaire sous la courbe se caractérise par deux longueurs : un des cotés est porté par l'axe des x, sa largeur est dx (ou dans votre première exemple, dx=0.5), et l'autre côté s'étend de l'axe des x à la hauteur f(x) soit une hauteur égale à f(x). En fait tout dépend jusqu'où s'élève le rectangle : il monte depuis x jusqu'à croiser la courbe, ou depuis le milieu de l'intervalle jusqu'à croiser la courbe ou bien depuis dx jusqu'à croiser la courbe etc...
Ainsi, l'aire du rectangle élémentaire étant donnée par le produit de ses deux côtés, elle vaut d²A=f(x).dx (ne vous formalisez pas sur la notation si elle vous est étrangère).
Pour avoir l'aire totale sous la courbe, on somme toutes les contributions de x0 à xf (étant les bornes de l'axe des x entre lesquelles on travaille) de d²A.
En faisant tendre dx->0, on retrouve le sens de l'intégrale de Riemann.

Puisqu'ici vous vous intéressez à la fonction carrée, il est normal qu'au point milieu de l'intervalle (0 + 0.5)/2=0.25, vous preniez comme hauteur du rectangle f(0.25)=0.25². La largeur du rectangle étant fixé à un pas de 0.50, l'élement d'aire vaut f(x)/dx=(0.25)²*0.50.

Quant à la question 2, je ne comprends pas votre demande.

Bon courage

[invite79e760d4]

Bonjour,

Oui il s'agit en fait de l'approche de Riemann pour le calcul des intégrales. On décompose l'aire sous la courbe comme la contribution d'une certaine quantité de rectangles.
Un rectangle élémentaire sous la courbe se caractérise par deux longueurs : un des cotés est porté par l'axe des x, sa largeur est dx (ou dans votre première exemple, dx=0.5), et l'autre côté s'étend de l'axe des x à la hauteur f(x) soit une hauteur égale à f(x). En fait tout dépend jusqu'où s'élève le rectangle : il monte depuis x jusqu'à croiser la courbe, ou depuis le milieu de l'intervalle jusqu'à croiser la courbe ou bien depuis dx jusqu'à croiser la courbe etc...
Ainsi, l'aire du rectangle élémentaire étant donnée par le produit de ses deux côtés, elle vaut d²A=f(x).dx (ne vous formalisez pas sur la notation si elle vous est étrangère).
Pour avoir l'aire totale sous la courbe, on somme toutes les contributions de x0 à xf (étant les bornes de l'axe des x entre lesquelles on travaille) de d²A.
En faisant tendre dx->0, on retrouve le sens de l'intégrale de Riemann.

Puisqu'ici vous vous intéressez à la fonction carrée, il est normal qu'au point milieu de l'intervalle (0 + 0.5)/2=0.25, vous preniez comme hauteur du rectangle f(0.25)=0.25². La largeur du rectangle étant fixé à un pas de 0.50, l'élement d'aire vaut f(x)/dx=(0.25)²*0.50.

Quant à la question 2, je ne comprends pas votre demande.

Bon courage

Question 1.

D'accord. En fait pour les intervalles, c'est en effet le milieu de l'intervalle que je prends (cet aspect-là je le comprends).

Donc si je comprends votre explication, le carré dans l'exemple (0.25)²*0.50 provient du calcul de l'aire du rectangle correspondant.

Par conséquent, et c'est cela que je cherche à savoir, si j'ai au lieu de f=x², le calcul sera-t-il le même (pour autant que je décide de prendre les mêmes intervalles) à savoir (0.25)²*0.50 ?

Question 2.

Le cours parle d'abord du travail effectué par une force constante dont la formule est :
W (travail) = F.d (F= force, d= distance)

Ensuite, il y a le calcul du travail effectué par une force non constante mais agissant suivant le déplacement rectiligne d'un corps selon la fonction F(x)=x² N afin de trouver une valeur approchée du travail de la force F.

Or je ne sais pas si cette dernière "formule" est donnée juste pour un cas de figure où si elle est généralisable. En effet, dans l'exemple donné, je suis à nouveau en face d'un cas du type W1 = F(0,25) . (0,5-0) = (0,25)² . 0,5

Encore une fois, je me demande d'où provient le carré cette fois-ci : provient-t-il de l'expression précédente F(x)=x² N ???

En fait, je dois rendre un devoir pour lequel l'énoncé est : recherchez la valeur approchée du travail de la force F agissant parallèlement à l'axe x gradué en mètres et déplaçant son point d'application sur l'intervalle [1 4], si F(x) = 3 x N (en prenant 6 sous-intervalles). D'où ma question initiale : la réponse est-elle, pour le premier intervalle : 3.(0,25).0,5 ? Autrement dit, F(x)= 3 x N remplace-t-il la formule citée tout à l'heure F(x)=x² N ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec17b0872]

Re,

Ici le carré provient de ce que vous vous intéressez à f: x->x². Dans ce cas, d²A=f(x).dx=x².dx
Si vous cherchez la fonction x^3, il faudra calculer d²A=f(x)dx=x^3.dx. Pour la fonction racine, d²A=f(x)dx=x^(1/2)dx, etc.
Le carré qui vous dérange n'est qu'un cas particulier qui tient à l'expression de la fonction f choisie ici.

C'est quoi ce N ?

[invite79e760d4]

Re,

Ici le carré provient de ce que vous vous intéressez à f: x->x². Dans ce cas, d²A=f(x).dx=x².dx
Si vous cherchez la fonction x^3, il faudra calculer d²A=f(x)dx=x^3.dx. Pour la fonction racine, d²A=f(x)dx=x^(1/2)dx, etc.
Le carré qui vous dérange n'est qu'un cas particulier qui tient à l'expression de la fonction f choisie ici.

C'est quoi ce N ?

Donc si j'ai sur un intervalle [0 4].
Pour le sous-intervalle [0 0,5], l'aire sera alors de (0,25)^1/2 . 0,5 => Est-ce correct?

Je crois que N signifie Newton.
Quoi qu'il en soit, il s'agit d'appliquer la formule W = F.d
donc si F(x) = 3x N (ou 3x), pour l'énoncé : recherchez la valeur approchée du travail de la force F agissant parallèlement à l'axe x gradué en mètres et déplaçant son point d'application sur l'intervalle [1 4], si F(x) = 3 x N (en prenant 6 sous-intervalles). La réponse est-elle, pour le premier intervalle : 3.(0,25).0,5 ? Autrement dit, je multiplierais par 3 la valeur "x" ?

[invitec17b0872]

Ah c'est l'unité le N ! Ok ok, je m'attendais pas à voir des newtons dans une expression littérale mais y'a pas de mal ! Je pensais que c'était une donnée de l'énoncé qui m'échappait !
Pour la fonction racine, ce que vous proposez est correct oui ^^

Pour la suite, la fonction à intégrer est f(x)=3x sur l'intervalle [1..4]. Si on prend 6 intervalles, ca donne des intervalles qui font 0.5 chacun. Le premier s'étend entre 1 et 1.5, son milieu est en 1.25.
En son milieu, f prend pour valeur f(1.25)=3*1.25=3.75.
L'aire du rectangle élémentaire vaut donc f(x)dx=3.75 * 0.50 = 1.875

Reste à propager le calcul sur les 5 derniers intervalles et à sommer les 6 "travaux élémentaires".

Continuez

Au final je trouve 45/2.

[invite79e760d4]

Merci pour l'aide, Rhodes77.
Je trouve bien la même réponse (22,5 J) !

La présence de ce "N" n'est en effet pas clair du tout je trouve, d'autant que mon cours ne fournit pas réellement d'explication.

[invite02d16824]

bonjoure;il est claire que la recherche d'une valeur exate d'un integrale a bosion d'effor mais c'est on utilise l'analyse numerique a la place d'analyse analytique par exemple l'integrale de exp() c 'est en utilise l'integrabilitè au sens de riemenn ou bien rieman darboux la resultat trouver sera tout afait fausse danc il suffut d'ituliser la method de gousse au de balzano

[invitee4ef379f]

bonjoure;il est claire que la recherche d'une valeur exate d'un integrale a bosion d'effor mais c'est on utilise l'analyse numerique a la place d'analyse analytique par exemple l'integrale de exp() c 'est en utilise l'integrabilitè au sens de riemenn ou bien rieman darboux la resultat trouver sera tout afait fausse danc il suffut d'ituliser la method de gousse au de balzano

Quleuqn' nu a cmoprsi?

Un petit effort d'écriture peut être?