Fonctions holomorphes

invite34b13e1b · 12/10/2013, 17h10

Bonjour,

Dans une démonstration d'un théorème de Cauchy pour les fonctions holomorphes, on montre que que si f est continue sur $\text{[math]}$ connexe, et holomorphe sur $\text{[math]}$ alors la fonction $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ partout sur l'ouvert.
Mon raisonnement est alors le suivant:
Comme F'=f, F est holomorphe sur $\text{[math]}$ . Donc f l'est aussi sur Omega comme dérivée d'une fonction holomorphe. et du coup.. j'en viens à prétendre qu'une fonction continue et holomorphe partout sauf en quelques points est en fait holomorphe partout.

Cette affirmation m'a l'air assez audacieuse... et j'ai bien peur de faire une erreur dans mon raisonnement (d'un autre côté le théorème de Morera me conforte un peu).

Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre aide!

invite34b13e1b · 12/10/2013, 17h29

ah flute je viens de voir quelques erreur en latex:
_il faut lire dans la premiere phrase "f est holomorphe sur Omega privé de a."
_ F est définie sur comme integrale sur un segment [b,z] où b appartient à Omega.
_ Omega est considéré convexe

invite7c2548ec · 12/10/2013, 18h53

Bonsoir à tous , @cleanmen ici la variable est $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ;

Cordialement

invite14e03d2a · 13/10/2013, 03h06

Envoyé par topmath

Bonsoir à tous , @cleanmen ici la variable est $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ;

Cordialement

Salut,

la variable d'integration est $\text{[math]}$ . Et F est une fonction de la variable $\text{[math]}$ . La notation utilisee ici est similaire a $\text{[math]}$ qu'on utilise en analyse reelle. (Mais $\text{[math]}$ n'a pas de sens pour une fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ puisque l'integrale pourrait dependre du chemin joignant $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ .

Je ne vois pas de probleme dans le raisonnement de Cleanman.

Cordialement

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invite34b13e1b · 13/10/2013, 11h07

Merci pour ton avis Taladris!

invite7c2548ec · 13/10/2013, 17h35

Bonsoir à tous :
@cleanmen certes que le théorème de Morera est le théorème réciproque de celui de Cauchy , mais je crois pour des chemin fermer .

$\text{[math]}$ C contour fermer .

invite14e03d2a · 14/10/2013, 01h12

Ceci est evidement faux: si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , l'integrale $\text{[math]}$ est non nulle.

L'integrale $\text{[math]}$ est nulle sur tout contour ferme, si f est holomorphe sur un domaine simplement connexe.

D'ailleurs, il faut que je corrige le premier message de cleanmen:

Envoyé par cleanmen

si f est continue sur $\text{[math]}$ connexe, et holomorphe sur $\text{[math]}$ alors la fonction $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ partout sur l'ouvert.

Pour que $\text{[math]}$ soit defini en tout point de $\text{[math]}$ , il faut supposer que $\text{[math]}$ soit etoile en a (pour que tout segment [a,z] soit contenu dans $\text{[math]}$ ).

Cordialement

invite7c2548ec · 16/10/2013, 21h25

Bonsoir c'est ce que j'ai compris comme question si f est continue sur un domaine simplement connexe , et on ce basant sur le théorème de Morera (théorème réciproque de celui de Cauchy ) F est Holomorphe (F primitive de f) d’après l'énoncé de cleanmen .

Cordialement

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