produit scalaire

[invite979fcc20]

Salut

je lisais un livre " le calcule tensoriel en physique" et j'ai un problème avec la définition du produit scalaire. enfaite la définition du livre diffère de la définition donné par wiki.
sur wiki on précise que <x|x> > 0 mais dans le livre on ajoute pas cette propriété.
qu'elle est la bonne définition ??

Cordialement Dorio.
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[invited9b9018b]

bonsoir
quelle est exactement la définition de votre livre ?

A+

[invite979fcc20]

on appelle produit scalaire une loi de composition interne qui à tout couple de vecteur x,y d'un espace vectoriel En.associe un nombre réel, souvent noté x.y et vérifie les axiomes suivants :

commutativité
distributivité par rapport à l'addition vectorielle : (x+y)z=xz+yz
associativité avec la multiplication par un scalaire : (Ax)y=A(YX) A: un scalaire
si XY=0 quelque soit Y alors X=0

et voilas celle de wiki

produit scalaire

[Médiat]

Bonjour

on appelle produit scalaire une loi de composition interne qui à tout couple de vecteur x,y d'un espace vectoriel En associe un nombre réel

C'est contradictoire !

commutativité

On dit plutôt symétrie.

...

A ma connaissance cette définition n'est pas celle d'un produit scalaire, puisque la forme n'est pas "définie positive" mais simplement "non dégénérée" et donne naissance à une pseudo-métrique.

Votre livre est un livre de physique traitant, sans doute, en particulier de l'espace de Minkowski.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

A ma connaissance cette définition n'est pas celle d'un produit scalaire, puisque la forme n'est pas "définie positive" mais simplement "non dégénérée" et donne naissance à une pseudo-métrique.

Malheureusement, certains livres different de cette convention et appelle produit scalaire ("inner product" en anglais) une forme bilineaire non degeneree. La raison est probablement pour tenir compte des formes non definie apparaissant en physique (Minkowski,...). Une autre raison est que les formes bilineaires symetriques non degenerees entieres (i.e. definies sur un -modules) sont tres courantes en cohomologie (a cause de M. Poincare et de sa fameuse dualite). En particulier, il existe une classification complete des formes entieres bilineaires symetriques non degenerees non definies alors que celle des formes definies est a ma connaissance un probleme ouvert.

A ce sujet, je recommande tres chaudement l'article de Jean-Pierre "Formes bilineaires symetriques entieres a discriminant 1" ou le livre de Milnor et Husemoller "Symmetric bilinear forms" (tous deux tres agreables a lire).

Cordialement.

[Médiat]

Vous avez malheureusement raison, c'est pourquoi dans le document sur "les ensembles de nombres", j'ai indiqué :

Le Produit Intérieur qui est le produit scalaire pour les espaces euclidiens, et pseudo-scalaire dans l'espace de Minkowski

[Amanuensis]

Ce qui est une horreur, le terme "pseudo-scalaire" ayant un sens très différent en géométrie différentielle en général, y compris en euclidien.

Pour "produit scalaire", ce n'est qu'une question de convention. L'erreur historique est d'avoir lier trop fortement la notion de distance (qui demande l'aspect positif) et la notion de produit scalaire (poids historique de l'euclidien).

Ce serait à refaire (et le malheureusement il est là: on ne peut pas), produit scalaire serait généralisé sans le "positif", et le côté "positif" introduit en relation avec la notion de distance (ou métrique) euclidienne. Et on parle, sans problème, de "pseudo-distance", "pseudo-métrique", etc.

[Médiat]

Et oui produit scalaire <--> distance, métrique et produit pseudo-scalaire <--> pseudo-distance, pseudo-métrique, finalement c'est assez cohérent !

[Amanuensis]

Le point est que "pseudo-scalaire" (avec scalaire un nom, pas un adjectif) signifie autre chose (déjà pris, désolé), et qu'on n'utilise pas (sauf exception, qui sait?) le terme "pseudo-scalaire" pour le produit ("pseudo-produit scalaire" serait d'ailleurs de bien meilleur aloi) dans le monde des textes sur l'espace-temps, alors qu'on y utilise bien "pseudo-métrique" (pseudo suivi d'un nom).

Introduire "produit pseudo-scalaire" n'est pas utile (les textes s'en passent très bien depuis longtemps) et amène un risque de confusion avec le concept couvert par le nominatif "pseudo-scalaire".

[Médiat]

Introduire "produit pseudo-scalaire" n'est pas utile (les textes s'en passent très bien depuis longtemps)

http://books.google.fr/books?id=0vI-...ire%22&f=false

http://books.google.fr/books?id=PUKG...ire%22&f=false

http://www.daskoo.org/afficher_cours...cut=historique

http://www.cjcaesar.ch/fribourg/resultat.php?rubrique=3

Je ne les copie pas tous, il y en a trop !

[Amanuensis]

Si vous préférez, je réécris "il y a plein de textes excellents qui s'en passent parfaitement". C'était évidemment ce qui était appelé par "utile" ; exhiber des textes utilisant un terme ne montre ni qu'il soit utile, ni qu'il soit de bon aloi, ni qu'il n'est pas source de confusion.

Une précision; quand je lis "produit scalaire", je comprends "produit dont le résultat est un scalaire" ; quand je lis "produit vectoriel", je comprends "produit dont le résultat est un vecteur" ; quand je lis "produit tensoriel", je comprends "produit dont le résultat est un tenseur". Mais le pseudo-produit scalaire n'est pas un produit dont le résultat est un pseudo-scalaire.

[On est à la limite du jeu rhétorique. Je quitte la discussion non pas qu'elle se passe mal, mais parce que j'ai écris ce que j'avais de constructif à dire, et que c'est suffisant pour moi.]

[Médiat]

Je vous admire grandement d'avoir pu lire tous les documents utilisant cette expression afin de les classifier en "pas utile", "pas de bon aloi" et tous ceux ne l'utilisant pas pour les classifier dans la catégorie opposée (encore une source de confusion).

[Amanuensis]

Là on est clairement passé de l'autre côté de la barrière. Soit vous n'avez pas compris le point que je soulevais, soit vous faites exprès de faire comme si vous ne l'aviez pas compris.

Bye...