Q dense dans R

[invitedb34050e]

Bonsoir
S'il vous plaît j'ai besoin d'aide en ce qui concerne la démonstration de Q dense dans R. Parmi les nombreuses démonstrations, j'ai un problème avec une.
Proposition
∀(x ; y) ∈ R² avec x < y, ∃r ∈ Q tel que : x < r < y.(On dit que Q est dense dans R)
Démonstration :
On "agrandit" l'intervalle [x ; y] de façon qu'il contienne un entier :
∃q ∈ N* tel que : q(y − x) > 1 (toujours possible car R est Archimédien)
C'est-à-dire : qy − qx > 1
Donc, il existe p ∈ Z tel que : qx < p < qy
En divisant par q (> 0) et en posant r = q/p, on obtient : x < r < y où r ∈ Q
Conclusion : Q est dense dans R
J'ai un problème avec la ligne en bleu. Je sais que la définition de R archimédien donne: pour tout x ∈ R, a∈R* , ∃n ∈N tq na>x.
Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît le passage de la définition à la proposition en bleu?
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[invite2e4a937b]

y-x est un reelle
q est un entier naturel
1 est un reelle
donc on peut appliquer le theoreme d'archimede et c'est ce qui a été fait dans la ligne en bleu !

[inviteea028771]

Il suffit de prendre pour x de ta définition le nombre 1, pour a le nombre y-x et pour n le nombre q

Edit : grillé

[invitecbf46172]

C'est tout simple, tu place tes deux points x et y sur la droite réelle, y-x sera donc la longueur du segment [x,y] on pourra toujours le dilater pour que sa longueur soit aussi grande que l'on veut i.e. il existe n (entier naturel) tq [nx,ny] soit de longueur n(y-x)>10.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Je sais que la définition de R archimédien donne: pour tout x ∈ R, a∈R* , ∃n ∈N tq na>x.

Avec cette definition, R n'est pas archimedien. Par exemple, x=1 et a=-1.


Il faut ecrire: pour tout x ∈ R, a>0 , ∃n ∈N tq na>x.


Cordialement