somme théorique la plus fréquente lors d'un tirage du loto???

**guitton** · 09/11/2013, 00h15

Quelle est la somme théorique la plus fréquente au loto (5 nombres tirés parmi 49)[bien sûr sans tenir compte du tirage du numéro complémentaire qui est un tirage indépendant de 1 nombre parmi 10] ;autrement dit quel est le chiffre (de la somme de 5 nombres tirés parmi 49) qui est en haut de la courbe de Gauss? (d'un point de vue probabilité bien sûr!!).
Je ne me souviens plus très bien comment on applique les formules ,merci d'avance.
(la somme minimale étant 1+2+3+4+5= 15 et la somme maximale=45+46+47+48+49=235),m ais quelle est la somme la plus fréquente???
cordialement guittonn

**toothpick-charlie** · 09/11/2013, 07h15

bonjour, c'est très facile de calculer la somme moyenne, mais moins de calculer la somme "modale" (la plus fréquente). Les deux devraient être proches (égales?)

**gg0** · 09/11/2013, 09h23

Bonjour.

A première vue, les valeurs possibles étant symétriques par rapport à 25, la série des sommes devrait être symétrique (pour toute combinaison a, b, ..f il y a la combinaison 50-a,50-b,..50-f) par rapport à 6*25 = 150.
Donc intuitivement, la somme médiane est 150, qui est la moyenne, et presque certainement le mode.

Cordialement.

NB : On peut obtenir ça de façon calculatoire.

**Amanuensis** · 09/11/2013, 10h07

Devrait y avoir moyen de montrer que c'est monomodal (au sens il n'existe pas de n tel qu'il existe q et r tels que q<n<r, p(q)>p(n) et p(r)>p(n), ce qui complèterait la démonstration.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**toothpick-charlie** · 09/11/2013, 10h48

notez que 5*25 n'est pas possible : il s'agit de tirages sans remise, c'est ce qui complique le calcul.

**Universus** · 09/11/2013, 18h42

Bonjour,

Peut-être y a-t-il un argument simple pour répondre à la question, bien qu'il s'agisse d'un tirage sans remise. Cependant, l'argument présenté dans ce message me suggère que seul un calcul numérique peut s'avérer raisonnable, au final.

Nous appellerons symbole de Schubert (de longueur $\text{[math]}$ ) un $\text{[math]}$ -uplet d'entiers $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ . À un symbole de Schubert, nous pouvons associer sa somme $\text{[math]}$ . Un symbole $\text{[math]}$ de longueur $\text{[math]}$ est dit borné par un entier $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . La question initiale mène naturellement à tenter de résoudre le problème suivant : pour tout entier $\text{[math]}$ , combien y a-t-il de symboles de Schubert $\text{[math]}$ de longueur $\text{[math]}$ bornés par $\text{[math]}$ satisfaisant $\text{[math]}$ ? Nous noterons ce nombre $\text{[math]}$ . La question initiale est simplement de trouver le nombre $\text{[math]}$ maximisant $\text{[math]}$ .

À un symbole $\text{[math]}$ borné par $\text{[math]}$ , nous pouvons lui associer le symbole «réduit» $\text{[math]}$ défini par $\text{[math]}$ . Ce symbole n'est généralement pas un symbole de Schubert, car il vérifie plutôt $\text{[math]}$ . Nous pouvons aussi lui attribuer une somme $\text{[math]}$ et nous avons évidemment la relation $\text{[math]}$ . Puisque $\text{[math]}$ est borné par $\text{[math]}$ , nous avons $\text{[math]}$ .

Changeant momentanément de sujet, pour un entier $\text{[math]}$ , nous pouvons considérer le nombre $\text{[math]}$ de partitions de $\text{[math]}$ . Nous pouvons raffiner la notion en considérant le nombre $\text{[math]}$ de partitions en n parties de $\text{[math]}$ . Le nombre de partitions de $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ parties dont chaque partie est au plus égale à $\text{[math]}$ est noté $\text{[math]}$ .

Il faut remarquer qu'un symbole réduit $\text{[math]}$ de longueur $\text{[math]}$ est une partition en $\text{[math]}$ parties de $\text{[math]}$ et inversement. Donc pour tout entier $\text{[math]}$ , il y a $\text{[math]}$ symboles réduits de longueur $\text{[math]}$ bornés par $\text{[math]}$ sommant à $\text{[math]}$ .

D'après tout ce qui a été dit plus haut, nous en déduisons que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Pour le problème précis de ce fil, pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est égal à $\text{[math]}$ .

Tant que $\text{[math]}$ , nous avons $\text{[math]}$ , ce qui se détermine plutôt bien et qui croît avec $\text{[math]}$ . Tout le problème est donc pour $\text{[math]}$ , car la somme 60 = 1+2+3+4+50 n'est pas considérée dans $\text{[math]}$ , mais l'est dans $\text{[math]}$ . Je vois difficilement comment évaluer la différence $\text{[math]}$ de façon efficace à partir de là.

Cordialement.

**Universus** · 09/11/2013, 20h28

Reste qu'il est vrai (comme l'a indiqué gg0) que si $\text{[math]}$ est un symbole de Schubert, alors $\text{[math]}$ est aussi un symbole de Schubert. Cette bijection implique, selon la notation de mon précédent message, que $\text{[math]}$ . Donc la fonction $\text{[math]}$ est symétrique par rapport à $\text{[math]}$ ; il est plausible que $\text{[math]}$ atteigne son maximum en $\text{[math]}$ , ce qui revient à considérer le message d'Amanuensis.

**gg0** · 09/11/2013, 22h55

Ah !

Je viens de voir que ce n'est pas le loto habituel pour moi, à 6 numéros, mais un loto à 5 numéros. D'où mon 150 à la place de 125.

Pour Toothpick-charlie : 23+24+25+26+27=5*25.

Cordialement.

**guitton** · 11/11/2013, 01h31

merci pour vos réponses:

j'ai une autre question dans la prolongation de la première:

Une fois une somme déterminée (par exemple:125); y a t-il une équation(sous Excel de préference) ou une autre astuce qui me permette d'obtenir un listing de toutes les combinaisons de 5 nombres compris entre 1 et 49 (Loto... donc sans remise) qui font la somme voulue?(sans avoir à le faire manuellement ce qui avec les 19 millions de combinaisons du loto risque d'être vite fastidieux ....pour ne pas dire prise de tête.)

Au pire avec remise et à la fin j'enlèverai manuellement du listing les doublons,triplet, quadruplet et quintuplet.
merci d'avance
guitton

**toothpick-charlie** · 11/11/2013, 07h18

bonjour,

pourquoi 19 millions? le nombre de combinaisons de 5 parmi 49 est de l'ordre de 1 milliard (1098365184 précisément). Quant au nombre de façons d'obtenir 125 il est de l'ordre de 14 millions, ça va te faire un long tableau excel.

**gg0** · 11/11/2013, 10h14

Il n'y a aucun intérêt à jouer une combinaison dont le total est le plus fréquent, puisqu'elle a exactement la même probabilité de gagner. Donc pourquoi les veux-tu ?

**Universus** · 11/11/2013, 14h26

Envoyé par toothpick-charlie

bonjour,

pourquoi 19 millions? le nombre de combinaisons de 5 parmi 49 est de l'ordre de 1 milliard (1098365184 précisément). Quant au nombre de façons d'obtenir 125 il est de l'ordre de 14 millions, ça va te faire un long tableau excel.

Il me semble que c'est plutôt 1 906 884, à savoir 49*48*47*46*45/5!. Heureusement d'ailleurs : ça serait de l'arnaque pure et simple de faire payer 1 à 2 euros la combinaison (je ne sais pas combien coûte un billet de loto en Europe) pour des gros lots d'au plus quelques dizaines de millions pour une chance de gagner de un milliardième!

**toothpick-charlie** · 11/11/2013, 18h41

ah oui je ne sais pas comment j'ai fait pour me tromper... et je me suis aussi gouré dans le calcul du nombre de combinaisons dont la somme est 125 (je ne sais pas comment là non plus). Il y en a environ 24000 (c'est déjà beaucoup).

**guitton** · 12/11/2013, 13h30

24000 c'est toujours moins que 1 906 884 combinaisons.
Et donc y a t-il une formule pour en avoir le listing?

Répondre à gg0:Si tu va sur le site les bons numéros tu à des statistiques sur les tirages du loto français qui te comparent les chiffres théoriques attendue et la réalité des tirages.
par exemple: dans la rubrique parité des numéros:
tu peux lire que théoriquement la répartition devrait être d'environ 49%pairs /51% impairs étant donné qu'il y 24 numéros pairs pour 25 impairs parmi les 50 composant la grille de jeu du Loto.Dans la réalité soit environ 800 tirages(depuis le nouveau loto 2008) :52.7% d'impairs et 50.4% de pairs
On est donc proche des statistiques.

Même si c'est un jeu de hasard,autant joué moins bêtement...statistiquement parlant (en appliquant les théories statistiques).
Même si certains trouveront peut être ça aberrant l'idée est de réduire à certaines combinaisons augmentant statistiquement les chances (ou je sais on est très loin d'un très très grand nombre de tirage;mais ce nombre augmente à chaque tirage et théoriquement quand il y aura eu les 19 millions de combinaisons ont devrait approcher des statistiques.(Théorie des grand nombre sur laquelle s'appuie les statistiques!!)
par exemple je ne jouerai jamais une suite de 3 nombres (2% des tirages) ni de 4 d'ailleurs: ça n'est arrivé qu'une fois (soit 0.1% des tirages).
L'idée étant d'optimiser des combinaisons (parité,dizaine,unité et somme la plus probable...). Encore faut-il que tous ces évènements arrivent en même temps!!!
Sur ce site il n'y a pas de statistiques sur les somme des numéros (hors numéros chance bien sûr puisque le tirage est indépendant) mais je me suis amuser à la faire sur une cinquantaine de tirages( certes c'est pas beaucoup... il faut que je continue) et j'obtiens 21,05% (12/57) de tirages dont la somme est situé entre 120et 130.
Exemple au dernier tirage:12-16-32-42-48 +9 ça fait une somme de 150. Statistiquement cette somme est plus éloignée de la somme théorique. Donc c'est une combinaison que je n'aurais pas retenue (ce qui ne veut pas dire qu'elle ne peut pas tomber...la preuve) mais dans la courbe de Gauss elle est moins fréquente.
sur le tirage d'avant:9-12-30-33-39+4 la somme fait 123 c'est une combinaison qui est proche de la somme théorique la plus fréquente et qui rentre dans les 21,05% cités plus haut
L'idée n'est encore une fois pas de prévenir l'avenir mais d'optimiser les combinaisons d'un point de vue statistiques.
Je pense que statistiquement parlant mon idée n'est pas idiote.
Sinon comment expliquer qu'un américain à gagner 7 fois le jackpot au Etats-Unis (tirage 6 numeros de 1 à 49 avec remise comme notre ancien loto soit une chance sur environ 14 millions de gagner); il le dit lui même il ne joue pas au hasard.

Pour preuve que la française des jeux à bien compris le truc: quand vous faites un flash: la machine choisit les nombres pour vous et comme par hasard il y a très souvent (plus que 24,4% des fois..;vous comprendrez à la fin de la phrase!!) des suites de 2 numéros (faites le test vous verrez) ce qui dans la réalité ne correspond qu'à 24,4 % des tirages dans ce cas la FDJ à 75.6% de probabilité de vous voir perdre et donc d'encaisser vos 2 euros!!!
Cela n'empêche pas bien sur à des gens de gagner avec un flash (c'est juste moins probable!!)
En conclusion, je ne prétend pas prédire l'avenir

ni faire parti d'une secte

mais "optimiser statistiquement" mes chances de gagner (ou de perdre moins souvent ...ca dépend comment on voit les choses

)même si elles restent statistiquement faibles; comme je le dit jouer mais de manière moins bête.
guitton

**toothpick-charlie** · 12/11/2013, 14h01

cette stratégie ne peut pas marcher. Par exemple, tu sais qu'il y a 24000 tirages qui donnent une somme égale à 125, et seulement 1 tirage qui donne la somme 15, donc tu te dis que tu vas choisir tes nombres de telle sorte que leur somme soit 125, et pas 15. Mais en fait, parmi les 24000 tirages, un seul va sortir (s'il sort) et pas forcément celui que tu as choisi. Donc tu ne gagnes rien avec cette stratégie. Tout ça est bien connu d'ailleurs.

**gg0** · 12/11/2013, 20h19

Bonsoir Guitton.

Fous en l'air tes statistiques : "52.7% d'impairs et 50.4% de pairs" c'est idiot !
N'importe comment, sur 10€ joués, il n'y a que 5€ environ de reversé. Donc la seule chose de sûre est que les joueurs perdent en moyenne la moitié de ce qu'ils ont joué. Moi, je n'ai pas joué 10 € depuis 10 ans, donc j'ai gagné environ 2600€ ! pas mal , non ?

je confirme, une combinaison de total 125 a exactement la même probabilité de sortir que n'importe quelle autre.

Gentiment !

**guitton** · 12/11/2013, 21h47

Pas de soucis je ne le prend pas mal mais statistiquement ça se tient
en faisant plus simple avec pile ou face:
si on fait 100 fois le lancer d'une pièce: chaque lancer est certes indépendant mais sur un grand nombre de lancer on va obtenir des statistiques (par exemple 42/58) qui se rapproche des probabilités (50/50) c'est le fondement même des probabilités s'appuyer sur un grand nombre d'évènements pour en déduire des probabilités.
Là on va me dire qu'on peut faire 99 fois pile et une seule fois face...mais combien de fois va t-on devoir faire de centaines de lancer pour obtenir un tel résultat....à priori pas mal (d'un point de vue statistique!!!)

Autre exemple:il y a quelques années j'ai discuté avec un croupier de casino qui m'expliquait qu'à la roulette il arrivait peu fréquemment q' une couleur sorte plus de 9 fois d'affilée (en proba :1/512 (le maximum qu'il est vu au cours de 20 ans de carrière étant 15 fois de suite pour une couleur soit en proba: 1/32768)
C'est d'ailleurs pour ça qu'il y a une mise maximale car sinon en jouant la même couleur (même en perdant et en doublant la mise à chaque perte= petite martingale (c'est le nom donné à cette technique de base qui permet de gagner le double de la mise de départ)) tout le temps on fini par gagner à court terme (quelques lancés) sauf si on tombe le soir ou les 15 fois d'affilée tombent.
J'y est joué quelques fois pour m'amuser (avec de petites sommes) et ma technique consiste à miser par exemple sur le noir quand le rouge est tombé 4 fois de suite... et ça à marché à chaque fois

ar contre il faut commencer avec une petite somme pour pouvoir doubler un certain nombre de fois. si le noir tombe à la troisième fois ça fait donc 6 fois le rouge (soit 1/64) puis le noir.
Ca fonctionne il faut juste être un peu patient car 4 fois de suite la même couleur c'est (1/16) en proba...Dans la réalité c'est plus ou moins long
(la dernière fois que je l'ai fait j'ai miser 25 euros sur le rouge après 5 sorties de noir et j'ai pu payer le resto pour deux)
j'ai eu du bol ça a marché dès le premier coup...
et il y a une technique encore plus efficace ou les chances de gagner sont plus que de 1/2.
en misant sur le noir et les 2 colonnes ou il y a le plus de rouge ça fait 32 chances sur 37 de gagner soit 86,4%de chance de gagner au lieu de (23/37)=48,7% en jouant simplement la couleur(et oui le 0 est pour le casino) (donc l'espérance du joueur est inférieure à celle du casino). Inconvénient:Il y a forcement une perte d'une des 3 mises sur une des 2 colonnes mais à long terme les gains l'emportent. Dis autrement l' espérance de gagner est supérieure à celle du casino. Le budget est plus conséquent car 3 mises de départ. Ca fini par fonctionner.
Là aussi il s'agit d'un jeu de hasard,pourtant on peu optimiser ces chances de gagner.
Pour la roulette c'est plus simple qu'au loto.
Comme ils disent 100% des gagnants on tentés leurs chances!!!!

cordialement guitton

**gg0** · 12/11/2013, 22h14

Tu confonds "optimiser tes chances de gagner" et "optimiser ton gain"

Si tu joues toutes les combinaisons au loto, tu as 100% de chances de gagner. mais tu vas gagner moins que ce que tu as miser ! Même chose à la roulette : Joue rouge, noir et 0.

Tu fais à la fin ("Il y a forcement une perte d'une des 3 mises sur une des 2 colonnes mais à long terme les gains l'emportent") le vieux raisonnement du commerçant "je vends à perte, mais je me rattrape sur la quantité"

Continue à croire à tes martingales, si tu veux, mais ne demande pas aux mathématiciens de justifier qu'elles marchent : Elles ne marchent pas. Ce n'est pas pour rien que les probabilistes ne jouent pas plus que les autres : Ils sont les mieux placés pour évaluer les martingales; s'il y en avait qui marchaient, ils joueraient; ne serait-ce que pour être suffisamment riches pour pouvoir faire de la recherche à leur guise.

Ciao !

**guitton** · 12/11/2013, 22h15

Ma question reste tout de même sans réponse (pour l'instant

): Y a t-il un moyen d'obtenir un listing des combinaisons pour une somme donnée (sur Excel de préférence). Défi lancé!!

guitton

**guitton** · 12/11/2013, 22h23

"petite martingale" c'est le nom que porte cette technique dans le milieu du casino ce qui ne veut pas dire que s'en est une!!!!
La preuve étant que dans ce cas l'espérance du joueur est inférieure à celle du casino.
Dans le second cas l'espérance du joueur est juste un peu au dessus de celle du casino.
Ce qui ne veut pas dire qu'on va gagner à coup sûr.
Je garde la tête sur les épaules.Les probabilités c'est la théorie et les statistiques la réalité,seul un grand nombre d'évènements permet d'accorder les deux.
je tente juste de perdre moins bêtement!!!
guitton

**guitton** · 12/11/2013, 22h42

complément d'infos concernant la "petite martingale ou martingale classique".
Elle ne fonctionne pas car il y a une limite de mise maximale pour le joueur, et c'est bien pour ca qu'il y a des règles qui sont étudiées pour!!! (sinon le joueur finirait tôt ou tard par obtenir la couleur désirée). C'est également pour cela que les casinos font très attention à ce que plusieurs joueurs ne s'associent pas pour dépasser le plafond de mises autorisé (doublé pour 2 joueur, triplé pour " etc...)
En effet si une fonctionnait très bien ça se saurait!!!
Dans ma seconde explication,l'espérance du joueur est très faiblement au dessus de celle du casino...c'est donc du "gagne petit"...pas de quoi se faire des milliers d'euros puisque là encore la mise maximale limite très vite le joueur!!!
guitton

**guitton** · 12/11/2013, 23h28

Question a toothpic-charlie:
Comment trouvez vous 24000?
merci

**toothpick-charlie** · 13/11/2013, 09h42

c'est une estimation.

pour avoir la liste des combinaisons possibles, ce n'est en principe pas difficile, il suffit d'énumérer toutes les combinaisons et de ne garder que celles dont la somme est 125

sous R, il suffit de 2 commandes :

u<-t(combn(49,5))

write.table(u[apply(u,1,sum)==125,],file="s125.txt")

la première étape prend une à deux secondes, la deuxième une vingtaine de secondes.
finalement le fichier a 24342 lignes.

e.e.

**Tryss** · 13/11/2013, 13h43

Envoyé par gg0

Ce n'est pas pour rien que les probabilistes ne jouent pas plus que les autres : Ils sont les mieux placés pour évaluer les martingales; s'il y en avait qui marchaient, ils joueraient; ne serait-ce que pour être suffisamment riches pour pouvoir faire de la recherche à leur guise.

D'ailleurs, lorsque ça marche, ils jouent réellement. Par exemple, on peut citer l'exemple de la "MIT blackjack team", qui utilisaient une technique de comptage de cartes pour gagner au blackjack, ou, moins connu, cette professeur de statistiques qui a remporté plusieurs fois la loterie (avec des tickets distribués) : les deux fois, elle est allée acheter des tickets à plusieurs centaines de km de chez elle (elle avait donc probablement un bon modèle de distribution des tickets)

**guitton** · 13/11/2013, 19h47

Depuis les casinos ont contrés la possibilité de compter les cartes en mélangeant 5 ou 6 jeu de cartes dans les sabots au lieu de 2 précédemment.(à moins d'avoir un pc sur soi difficile de calculer les probas de tête).
De plus les croupiers se rendent compte si les joueurs comptent car du coup leurs mises sont subitement plus élevées sans raison apparentes pour redevenir faibles au tour suivant et dans ce cas ils demande au joueur de ramasser ses mises et de prendre la sortie.

**mick911** · 14/05/2018, 11h27

Bonjour à tous...
Le sujet de ce forum date un peu ... mais correspond a ma préoccupation actuelle
Avec Excel 97 je me suis amusé a faire un tableau avec toutes les combinaisons possibles des 5 numéros du Loto , donc sans le complémentaire.
En faisant la somme des numéros de chaque tirage possible j'obtiens une belle courbe en cloche....
Ensuite j'ai "fitté" par Macro une courbe de Gauss de cette belle courbe en cloche (mon but était de calculer Mu et Sigma)
Ma surprise est que si une gaussienne se superpose à peu prés bien à ma courbe en cloche, elle montre quand même des différences notables au bas des ailes et au maximum de la courbe Cela me suggère donc que ce n'est pas une gaussienne !!!! mais alors qu''est-ce c'est????
Auriez-vous une idée de l'équation régissant cette courbe?

En attente de vos réponses

**gg0** · 14/05/2018, 12h55

Bonjour.

C'est normal qu'il y ait une différence avec une loi Normale, même en oubliant le caractère discontinu. Il ne s'agit pas d'une loi binomiale.
Quant à la loi exacte, c'est suffisamment difficile pour que je ne me sois pas risqué, à l'époque, de la définir. mais si tu veux exécuter le pensum ... tu calcules pour chaque nombre entre 15 (1+2+3+4+5) et 235 (45+46+47+48+49), le nombre de décompositions (sans ordre) de ton nombre (par exemple, pour 16, c'est 1 : seule la combinaison 1+2+3+4+6 fait 16). C'est un problème mathématique déjà compliqué, pour lequel je ne crois pas qu'il y ait de formule simple. Ensuite, tu calcules les probabilités correspondantes.

Bonne chance !

**mick911** · 14/05/2018, 17h37

Merci pour la rapidité de la réponse !
Si j'avais bien fait abstraction du caractère discontinu de la fonction, je n'avais pas réalisé qu'effectivement ce ne pouvait être une loi binomiale.

Les 2 courbes étant si proches, que j'avais pensé que la différence venait de l'imprécision de la macro ancienne pour la loi normale (Xl97), et n'ayant pas un ordi avec une
version récente d'excel je n'ai pu vérifier cette hypothèse.

En tous cas je vais me satisfaire de mon approximation par une gaussienne, les 2 courbes étant si proches, comprenant maintenant le le pourquoi du comment !

Un grand merci à toi gg0 je vas pouvoir dormir plus sereinement

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