Polynôme

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Voila on se place dans C[X] et on considère A, B et C 3 polynômes non constants de C[X] premiers entre eux deux à deux tels que A+B=C. On pose D= AB'-BA'. On me demande de montrer que si on considère u une racine du polynôme ABC de multiplicité m il faut que je montre que u est racine de multiplicité m-1 de D. J'ai traduit les hypothèses on a alors/ABC et ne divise pas ABC mais je n'arrive pas à avancer...

Quelqu'un aurait t-il une piste ?

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Les polynômes A, B et C sont premiers entre eux, donc ..
Et une racine de multiplicité m de A est une racine de A' de multiplicité ...

Cordialement.

[inviteec33ac08]

Re,

Si A, B et C sont premiers entre eux alors on peut écrire d'après le théorème de Bezout (licite car C[X] est un anneau principal) :

AU+BV=1
AU'+CV'=1
BU''+CV''=1

où U, V, U', V', U'' et V'' sont des polynômes de C[X]

Une racine de multiplicité m de A est une racine de A' de multiplicité m-1

J'écris où Q est un polynôme de C[X]. En dérivant on obtient par contre je n'arrive pas à faire apparaitre D ?

[gg0]

Tu es parti sur du bien trop compliqué !

Si u est une racine de ABC, (X-u) divise ABC donc ... car A, B et C sont premiers entre eux.

"Premiers entre eux" ne doit pas te faire sortir ton Bézout comme le mot culture faisait sortir son pistolet à Goëring. Le lemme de Gauss est aussi utilisable !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Merci,


alors je vais essayer de tenir un raisonnement correct. On a divise ABC. Nécessairement on choisit arbitrairement divise A sinon on a plus A, B et C premiers entre eux. De plus avec ce que l'on vient d'écrire on peut également dire que u est racine de multiplicité m-1 de A'.

En outre,

On a alors divise A car divise A
Et divise A'

Donc divise toute combinaison linéaire de A et A' en particulier AB'-BA'.

On conclut que divise D

Mon raisonnement est il juste ? (Le souci que je rencontre est dans l'application du lemme d'Euclide pour moi si P/AB et pgcd(P, A)=constante car on travaille avec les polynômes alors on peut affirmer que P/B ici pour l'appliquer ce n'est pas si clair que cela pour justifier que B, C et sont premiers entre eux)

Reste à montrer que ne divise pas D je pense à un raisonnement par l'absurde en raisonnant sur les degrés notamment

[Médiat]

Reste à montrer que ne divise pas D

Bonjour,

N'oubliez pas le cas où c'est C qui admet u comme racine d'ordre m.

[gg0]

Le souci que je rencontre est dans l'application du lemme d'Euclide pour moi si P/AB et pgcd(P, A)=constante car on travaille avec les polynômes alors on peut affirmer que P/B ici pour l'appliquer ce n'est pas si clair que cela pour justifier que B, C et sont premiers entre eux

Ceci t'indique qu'il faut que tu revoies les notions de divisibilité et de pgcd dans l'anneau des polynômes. Ce sont les constantes non nulles qui jouent le rôle des unités (1 et -1) du cas des entiers.

Cordialement.

[inviteec33ac08]

Ceci t'indique qu'il faut que tu revoies les notions de divisibilité et de pgcd dans l'anneau des polynômes. Ce sont les constantes non nulles qui jouent le rôle des unités (1 et -1) du cas des entiers.

Cordialement.

Merci,

je sais cela ce qui me posait problème c'est pour justifier que est premier avec BC l'argument "sinon A, B et C ne sont plus premiers entre eux" suffit-il ? De plus a t-on le droit de prendre n'importe lequel des trois polynômes par exemple A, B ou C sachant que l'on dispose de la relation suivante C=A+B ? Le post de Médiat me laisse à penser que non...

[acx01b]

salut,

si est une racine de multiplicité exactement de
alors avec ne divise pas



on a donc que divise
mais je ne vois pas ce qui empêche que divise
si bien qu'en général on sait juste que est racine de de multiplicité au moins

[Médiat]

En fait et là, la réponse est évidente.

[acx01b]

zut ...
j'ai écrit n'importe quoi