Othogonalité matrice

[invitef235ecac]

Hello !
J'ai besoin de votre aide car j'ai l'impression que mon livre d'algebre est entrain de me raconter un peu nimporte quoi dans ce chapitre..

1) Alors déjà...on me dit que toute matrice orthogonale est inversible or j'ai pensé à une matrice orthogonale non carré et elle ne serait pas inverible

2) De plus dans un theoreme on me dit les colonnes dune matrice U de type m*n sont orthonormes si et seulement si U^T U = I

Or ceci veut dire que U est inversible ( son inverse est sa transposee) DONC U est carre ca devrait etre n*n et non m*n

Voila merci de m'eclairer
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[gg0]

Bonsoir.

Alors déjà, lire soigneusement ton cours ou ceci par exemple.

1) voir le cours (définition de "matrice orthogonale").
2) Oui, là il y a un problème, une faute de frappe.

Cordialement.

[invitef235ecac]

Alors pour la 1
Une matrice est orthogonale SI elle est caree ET inversible ( précisait nul part dans mon cours d'ailleurs)

Pour le 2
Finalement c'est pas si faux le m*n tant qu'ils mettent m>= n
J'ai trouve des contres exemples ou jai une matrice A m*n et j'arrive a avoir A^T A = I sans qu'elle soit pour autant inversible ( non carre)

[NicoEnac]

Bonjour,

Il me semble que si U est de type m*n, on peut effectivement effectuer l'opération U^T.U et trouver I.
Le seul problème dans votre notation, c'est que vous ne précisez pas la dimension de I.

Exemple :
U = (1 ; 0 ; 0) de type 1*3 (ou 3*1, j'avoue ne plus me souvenir si on dit ligne*colonne ou colonne*ligne).
U^T.U = (1) = I₁.
Cela ne signifie pas que U est inversible.

Pour rappel, on dit d'une matrice A qu'elle est inversible (et on note B son inverse) si et seulement si AB = BA = I
Or dans l'exemple donné, on n'a clairement pas U^T.U = U.U^T

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Houlala,

j'ai été trop vite (je supposais qu'on parlait de matrices orthogonales, encore).

Cordialement.