Déterminer k à partir de deux équations

[invitedd99a2fc]

Bonsoir à tous,

J'ai un p'tit souci avec un exo... Je dois déterminer k et j'ai ceci:

90 = k * a0
92 = K*(1 + a10 + a9 + ... + a0)

Je sais seulement que k est un entier et que les "a" sont des entiers et qu'ils sont relativement premier entre eux...

J'ai débuté par soustraire une équation à l'autre... J'ai obtenu:

2 = k*(1+a10+...+a2+a1)

Ceci m'a permis de conclure que k était soit égal à -2, à -1,à 1 ou à 2...

Maintenant je suis complètement bloguer...

Merci de tenter de m'aider,

Nicemath
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[gg0]

Bonsoir.

A priori, sans connaissance particulière sur les a_i, il n'y a rien de plus à dire. Ce serait différent si c'était des entiers strictement positifs. Mais vu les valeurs que tu proposes pour k ...

Cordialement.

[invitedd99a2fc]

D'accord, peut-être que j'ai mal débuté mon problème... je vais alors inscrire l'énoncé complète de l'exo...

Déterminez l’entier n pour lequel le polynôme f(t) = t^13 + t + 90 est
divisible par le polynôme q(t) = t^2 - t + n.

J'ai utiliser un théorème de Gauss disant que lorsque f peut s'écrire en factorisant sous la forme f=q*s, alors les coefficients de s sont des entiers et relativement premier... (Il est important de savoir que j'ai énoncé très brièvement le théorème ici....)

C'est pour cette raison que j'ai les deux équations suivantes...

J'espère que cela pourra aider...

Merci beaucoup,

[invite93e0873f]

Comment obtiens-tu ces possibilités pour ?

De façon bien moins ingénieuse, j'ai développé et posé cela égal à . J'ai donc obtenu plusieurs relations entre les menant après calculs à deux équations polynomiales en :

et .

La deuxième équation rend évident que . Par ailleurs, la valeur k=1 ne solutionne pas la deuxième équation, tandis que la valeur k=2 ne solutionne pas la première équation.

Dans les faits, les polynômes k^6 - 21k^5 + 70k^4 - 84k^3 +45k^2 -11k et 6k^6-35k^5+56k^4-36k^3+10k^2-k ont des racines communes en k=0 et en k=1. Il semblerait que ce soient les seules racines entières du premier polynôme, donc les k solutionnant les deux équations ne pourraient être entiers...

Évidemment, mieux vaut contre-vérifier mes calculs, mais une première vérification ne semble indiquer aucune erreur...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd99a2fc]

J'obtiens ces possibilites car justement grace a gauss nous obtenons que les "ai" sont des entiers relativement premier entre eux...donc, le k et le terme de droite dans mon premier message doit etre élément de [-2,2]... J'ai trouver la reponse grace a un logiciel mathematique cest k=2 mais evident faut jarrive a cette conclusion...

Merci de l'essai, mais je crois que ton erreur est lors de ta mise en equation

[invite93e0873f]

En effet, Wolfram Alpha indique que k=2 fonctionne!

J'admets que déduire que k est dans [-2,2] du fait que les a_i sont relativement premiers m'échappe... C'était plutôt cela la question.

[invitedd99a2fc]

Je ne déduit pas cela parce que les a sont relativement premier mais plutôt parce que le k est un entier et les a sont des entier... De plus 2 = k*(1+a10+...+a1) donc k est soit -2, -1, 1, 2

[invite93e0873f]

Que je suis bête........ Merci.

[invite93e0873f]

Nous pouvons éliminer les cas -2, -1 et 1.

Nous remarquons que n'admet aucune racine réelle positive, pas plus qu'à l'intérieur du cercle unité dans le plan complexe.

En comparaison, a pour racines . Si , une racine est négative. Si , les racines sont comprises dans [0,1]. Si , les racines forme une paire conjuguée de nombres complexes de norme d'au plus 1. Bref, si , ne divise pas .