Bonjour
On donne les entiers:
a=11n+3, b=13n-1, n>0
Pour quelles valeurs de n, PGCD(a,b)=5 ?
On ne change pas le pgcd de deux entiers si on ajoute ou on retranche un multiple de l'un à l'autre.
PGCD(11n+3,13n-1) = PGCD(11n+3,2n-4) = PGCD(n + 23, 2n-4) = PGCD(n+23, -50)
= PGCD(n+23,50)
PGCD(a,b)=5 équivaut à
PGCD(n+23,50)=5
équivaut à 5 divise n+23 et PGCD(a,50)=5
équivaut à n+23=5k, k entier et PGCD(5k,50)=5
équivaut à 5PGCD(k,10)=5
équivaut à PGCD(k,10)=1, k et 10 premiers entre eux
équivaut à n=5k-23
( on peut aussi écrire n=5k+27 )
J'ai vérifié avec plusieurs valeurs de k (k premier à 10) et ça marche
Mais est ce que cette procédure avec des équivalences successives est correcte ?
J'ai entendu dire qu'il faut se méfier de cette méthode.
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