Somme de 2 fermés

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Voila on me demande de trouver un exemple de 2 fermés tel que la somme n'en est pas un.

En cherchant un peu sur le net, j'ai trouvé l'exemple suivant:

E= et F= sont des fermés

et E+F= n'est pas un fermé

Bon alors pour E et F je vois bien qu'ils sont des fermés en passant par les suites... maintenant si je prends une suite convergente de E+F je ne vois pas pourquoi sa limite ne serait pas de la forme a+b, où a et b sont des entiers.

Merci de votre aide,
jules345
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Tu dois savoir qu'un sous-groupe de est soit dense soit de la forme avec . En particulier, si était fermé, il pourrait s'écrire sous la forme , ce qui est impossible par irrationnalité de .

[inviteec33ac08]

Merci de votre réponse mais alors pourquoi ne peut pas faire le même raisonnement pour vu que est irrationnel il ne serait donc pas fermé ?

[Seirios]

est bien de la forme avec ; ce n'est pas le cas pour , mais il faut écrire quelques lignes pour le justifier (en utilisant l'irrationnalité de justement).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

Tu dois savoir qu'un sous-groupe de est soit dense soit de la forme avec .

il me semble que c'est dommage ici de faire intervenir ce théorème, qui est plutôt plus avancé que la propriété à démontrer.

j'essaierais de montrer que le complémentaire n'est pas ouvert, en montrant que tout réel peut être approché d'aussi près qu'on veut par un réel de la forme a+sqrt(2)b, a,b entiers (du coup ça montre que l'ensemble en question est dense). C'est juste une manipulation d'inégalités, donc une preuve plus élémentaire.

[inviteec33ac08]

Merci à tous les deux pour vos réponses,

@Seirios: Pour montrer que H= n'est pas fermé je pense prendre une suite convergente de H et montrer que sa limite n'est pas dans H après je n'ai pas trop l'idée pour la construire explicitement.

@toothpick-charlie
En fait cela revient à considérer une suite de H et à montrer que sa limite n'est pas dans H ce qui suffira, mais je n'ai pas trop d'idée pour construire une telle suite.

Un indice ?

[Seirios]

Tu peux commencer par montrer qu'il existe un élément strictement positif arbitrairement petit dans .

[inviteec33ac08]

Re, et merci encore

Bon alors déjà est contenue dans cet ensemble, après je peux encore trouver encore plus petit ie en trouvant un tel que les chiffres après la virgule soit proche de 0 pour le soustraire ensuite par un élément de . Mais que dire ensuite ?

[Seirios]

Un indice : il existe un rationnel aussi proche que l'on veut de , sans pour autant lui être égal.