Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Comment feriez-vous pour démontrer que l'équation :

x¹⁰¹ + x⁵¹ + x - 1 = 0

admet une et une seule racine réelle ?

J'ai bien essayé de passer en revue les théorèmes que je connais voir un peu lequel je pourrais utiliser pour démontrer ça mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre

A la limite je me suis dit que si j'arrivais à montrer qu'il en existe UNE et qu'ensuite je montre que la fonction est injective ça pourrait aller mais je ne sais faire ni l'un ni l'autre ...

Vous avez une indication à me donner ?

merci
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[chris111]

Salut,
Sauf erreur de ma part cette fonction f(x) qui est =0 est continue sur R, si la derivée strictement monotone, et que... alors tu as une seule et unique racine sur R
Chris

[Coincoin]

Salut,
Il faut voir que la dérivée a vraiment une bonne tête en fait. Elle s'étudie sans problème...

[Bleyblue]

C'est vrai mais attendez il faut justifier le fait que f' soit monotone.

J'essaie :

f'(x) = 101x¹⁰⁰ + 51x⁵⁰ + 1

donc si je pose t = x⁵⁰

f'(t) = 101t² + 51t + 1 (avec t > 0)

et je n'ai qu'a montrer que f'(t) est > 0 pour tout t > 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[chris111]

Et le tour est joué
Chris
A+

[kNz]

Je crois que ça va être dur..

[Bleyblue]

Oui mais si je prend f(x) = e^x

La dérivée est monotone (tjrs positive) aussi alors que pourtant 0 = e^x n'admet aucune racine réelle.



merci

[Bleyblue]

Bon évidemment on a une asymptote horizontale pour e^x ce qui n'est pas possible avec le polynôme mais tout de même, moi ça ne me semble pas pertinent comme argument le fait que f' soit monotone (et maintenant que j'y pense, ce serait pas plutôt le fait que f' soit strictement positive ou strictement négative ? Parce que f' monotone on s'en fiche un peu ... )

merci

[Coincoin]

Ce qu'il faut faire, c'est voir si c'est monotone, regarder de chaque côté de l'intervalle et voir si on n'a pas par exemple une valeur négative à gauche et une valeur positive à droite. Ensuite, si c'est continu, c'est gagné (théorème des valeurs intermédiaires).
Au pire, tu peux diviser en plusieurs intervalle où c'est monotone si ça marche pas.

[chris111]

Dans mon 1er post, il y avait "et que... "
il te reste donc a trouver un x tel que f(x)>0 et un autre tel f(x)<0
Courage!

Coincoin est d&#233;cidement le plus rapide -> "encore une victoire de Canard"

[Bleyblue]

Bon, j'ai pas bien comprit tout ce que vous dites ( ) mais vous m'avez donnez des id&#233;es alors j'ai essayer de pondre un raisonnement par moi m&#234;me :

Si f(x) = x¹⁰¹ + x⁵¹ + x - 1

f'(x) = 101x¹⁰⁰ + 51x⁵⁰ + 1

comme f(-1) < 0, f(1) > 0 et f continue il existe c dans [-1,1] tel que f(c) = 0 donc on a montrer l'existence d'une racine.

Maintenant je n'ai plus qu'a prouver f' monotone (comme j'ai commenc&#233; &#224; le faire dans mon message plus haut) et c'est bon

Juste ?

merci

[Coincoin]

Il faut que ça soit monotone sur R si tu veux que ça marche.

Et généralement, plutôt que -1 et 1, on regarde les limites en moins et plus l'infini, comme ça on est sûr d'encadrer la racine. Mais bon, c'est un détail...

[Bleyblue]

Mais ici f' n'est pas monotone sur R (par monotone vous voulez bien dire croissante ou (exclusif) décroissante ?)

[Bleyblue]

Mince je me goure dans mes dénominations

Il suffit que je prouve f' < 0 ou f' > 0 je veux dire (rien à voir avec la monotonie)

merci

[nissart7831]

Pourquoi f' monotone ? c'est plut&#244;t f strictement monotone qu'il faut montrer et donc montrer que f'(x) > 0 ou f'(x) < 0 pour tout x.
Et vu la gueule de la d&#233;riv&#233;e, c'est pas bien compliqu&#233; &#224; trouver le signe.
Et puisque 2 valeurs de x ont &#233;t&#233; trouv&#233;es telles que l'image de l'une par f soit strictement n&#233;gative et l'image de l'autre soit strictement positive, il n'y a qu'une valeur de x qui soit racine de f(x) et elle est entre ces deux valeurs, car f est continue.

[Bleyblue]

Et généralement, plutôt que -1 et 1, on regarde les limites en moins et plus l'infini, comme ça on est sûr d'encadrer la racine. Mais bon, c'est un détail...

Oui mais si la fonction admet deux racine par exemples (au lieu de une), alors ça n'ira plus ...

[Coincoin]

Mais vu qu'on veut montrer qu'elle n'admet qu'une seule racine, si elle admet deux racines, il ne faut pas s'étonner que ça marche pas...

[Bleyblue]

Tiens oui je n'avais jamais remarqué que f strictement monotone => (f < 0 OU f > 0)

Pour ça que je ne comprenait pas que vous parliez de montonie

Désolé, et merci à tous

[Quinto]

Ici la fonctione st polyn&#244;miale de degr&#233; impair, c'est sur qu'elle va en avoir au moins une, et comme tu as dit la d&#233;riv&#233;e est toujours positive, et m&#234;me strictement positive (sauf en un point), donc le r&#233;sultat est prouv&#233;.
A+

[Bleyblue]

Mais vu qu'on veut montrer qu'elle n'admet qu'une seule racine, si elle admet deux racines, il ne faut pas s'&#233;tonner que &#231;a marche pas...

J'ai &#233;clat&#233; de rire lorsque j'ai lut &#231;a
Non elle n'en admet qu'une seule mais je veux dire si le polyn&#244;me en aurait admit deux ton test aurait &#233;chou&#233; ...

merci

[nissart7831]

Ici la fonctione st polynômiale de degré impair, c'est sur qu'elle va en avoir au moins une, et comme tu as dit la dérivée est toujours positive, et même strictement positive (sauf en un point), donc le résultat est prouvé.
A+

Petite rectification : la dérivée est strictement positive partout, elle est même supérieure à 1.

[Coincoin]

Ben oui, mais c'est normal. Il aurait fallu couper en deux (ou plus) intervalles où on a la monotonie.

[Bleyblue]

Ok j'y suis

merci bien à tous

[matthias]

Non rien ...

[Bleyblue]

Non rien ...

Comment-ça ?

[matthias]

J'avais juste posté un truc idiot que j'ai édité à temps ...

[Bleyblue]

Ah pardon, je me demandais ce que tu voulais dire

[Quinto]

Petite rectification : la dérivée est strictement positive partout, elle est même supérieure à 1.

Je n'ai pas dit le contraire, mais je voulais dire que même si elle s'annulait en un point (ou sur un ensemble d'intérieur vide) ca ne changeait pas le résultat sur la monotonie.
Il existe justement des fonctions dérivables sur des ensembles qui ont un intérieur vide, cette dérivée est nulle, et pourtant la fonction est strictement croissante....