Topologie

[invitee791e02a]

Bonsoir,

Voila j'essaye de trouver des exemple d'ensemble muni de topologie où les compacts diffèrent en fonction de la topologie que l'on place sur cet ensemble. Merci à vous de m'aider
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[Médiat]

Bonjour,

Il n'y a aucune raison a priori pour que 2 topologies aient les mêmes compacts, et sur tout ensemble, vous pouvez définir la topologie discrète et la topologie grossière où, clairement les compacts sont différents, vous pouvez aussi penser à la topologie cofinie.

[Seirios]

Bonsoir,

Un exemple important en analyse fonctionnelle sur le dual d'un espace vectoriel normé : topologie liée à la norme, topologie faible et topologie faible-*. Si mes souvenirs sont bons, les deux premières topologies coïncident ssi est de dimension finie, et les deux dernières ssi est réflexif. Un des avantages de la topologie faible-* est que la boule fermée unitaire est compacte, ce qui n'est pas le cas pour la topologie liée à la norme en dimension infinie ou pour la topologie faible si n'est pas réflexif.

Maintenant, tout cela n'est pas trivial, les exemples donnés par Médiat sont bien plus immédiats.

[invitee791e02a]

Merci à vous deux pour vos réponses, par exemple si je prend R et la topologie discrète et grossière. Je n'arrive pas à voir les compacts pour ces topologies. Pour moi un compact de R est un segment de R pouvant être réduit à un singleton dans un espace séparé enfin c'est pas très clair dans ma tête je connais bien mes définitions certes mais je n'ai pas d'exemples claires...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

prends la définition avec les recouvrements ouverts : dans la topologie discrète tout sous-ensemble est ouvert. Si E est infini, et F une partie infinie de E, un recouvrement ouvert particulier de E est celui composé des singletons, on ne peut clairement pas en extraire un sous-recouvrement fini et donc F n'est pas compact. Les seuls compacts de E sont les parties finies. Alors que dans la topologie grossière il n'y a que vide et E qui sont ouverts et donc tout recouvrement ouvert est déjà fini : toute partie de E est compacte.