Topologie
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Topologie



  1. #1
    math123

    Topologie


    ------

    Bonsoir,

    Voila j'essaye de trouver des exemple d'ensemble muni de topologie où les compacts diffèrent en fonction de la topologie que l'on place sur cet ensemble. Merci à vous de m'aider

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Topologie

    Bonjour,

    Il n'y a aucune raison a priori pour que 2 topologies aient les mêmes compacts, et sur tout ensemble, vous pouvez définir la topologie discrète et la topologie grossière où, clairement les compacts sont différents, vous pouvez aussi penser à la topologie cofinie.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    Seirios

    Re : Topologie

    Bonsoir,

    Un exemple important en analyse fonctionnelle sur le dual d'un espace vectoriel normé : topologie liée à la norme, topologie faible et topologie faible-*. Si mes souvenirs sont bons, les deux premières topologies coïncident ssi est de dimension finie, et les deux dernières ssi est réflexif. Un des avantages de la topologie faible-* est que la boule fermée unitaire est compacte, ce qui n'est pas le cas pour la topologie liée à la norme en dimension infinie ou pour la topologie faible si n'est pas réflexif.

    Maintenant, tout cela n'est pas trivial, les exemples donnés par Médiat sont bien plus immédiats.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    math123

    Re : Topologie

    Merci à vous deux pour vos réponses, par exemple si je prend R et la topologie discrète et grossière. Je n'arrive pas à voir les compacts pour ces topologies. Pour moi un compact de R est un segment de R pouvant être réduit à un singleton dans un espace séparé enfin c'est pas très clair dans ma tête je connais bien mes définitions certes mais je n'ai pas d'exemples claires...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite179e6258

    Re : Topologie

    prends la définition avec les recouvrements ouverts : dans la topologie discrète tout sous-ensemble est ouvert. Si E est infini, et F une partie infinie de E, un recouvrement ouvert particulier de E est celui composé des singletons, on ne peut clairement pas en extraire un sous-recouvrement fini et donc F n'est pas compact. Les seuls compacts de E sont les parties finies. Alors que dans la topologie grossière il n'y a que vide et E qui sont ouverts et donc tout recouvrement ouvert est déjà fini : toute partie de E est compacte.

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