Nombres complexes

[invite376e3498]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à répondre à la question 2 de mon DM ?

2/ Soit z un nombre complexe de module 1. Que vaut |1 + z|² + |1 - z|² ?

Je ne vois pas ce qu'il faut faire.
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[Seirios]

Bonsoir,

Tu peux utiliser que pour tout complexe . Ton expression se développe puis se simplifie agréablement.

[invite376e3498]

Merci seirios,

Donc, avec |a|²=a*a(barre) et |a(barre)|=|a|

|1+z|²+|1-z|² = (1+z)(1+z) + (1-z)(1-z) = (1+2z+z²)+(1-2z+z²) = z²+1

Est-ce que c'est bien cela ?

[pallas]

NON je confirme ce qu"a dit seirios
( module de z) au carré = z fois son conjugue
or ce que tu as ecrit ne traduit pas cette propriété !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite376e3498]

Est-ce que c'est (1+z)(1-z)+(1-z)(1+z)
Ou il faut remplacer z par x+iy ? Si c'est le cas, comment savoir si x ou y qui vaut 1 (puisque module z =1) ?

Désolé si je suis à côté de la plaque.

[gg0]

Bonsoir Imhere.

On dirait que tu ne connais pas la notion de conjugué. On la voit généralement dès les premiers cours sur les complexes.
Si c'est vraiment le cas, repars de l'expression initiale en posant z=x+iy.

Cordialement.

[invite376e3498]

Un peu quand même z=x+iy et z(barre)=x-iy.
En fait, je suis en reprise d'études après plusieurs années d'arrêt. Alors j'ai quelques difficultés et trous de mémoire.

[Seirios]

Il n'y a pas de besoin de décomposer en parties imaginaire et réelle, il suffit de faire apparaître un lorsque cela est nécessaire. En principe, il suffit d'écrire, de développer et de simplifier.

[invite376e3498]

En posant z=x+iy

|1+z|²+|1-z|² = (1+x+iy)(1+x-iy)+((1-(x+iy))((1-(x-iy)) = 2y²+2x²+2

Est-ce que c'est cela ou je fais encore fausse route ? Je ne comprends pas pourquoi il est indiqué module 1 ?


PS: j'avais pas vu ton message seirios.

[invite376e3498]

Donc, (1+z)(1+zb)+(1-z)(1-zb)=2+2zzb
Comme |z|=1 x²+y²=1 et zzb=1 Donc z=4 ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Donc z=4 ?

Ce n'est pas z qui vaut 4.

[invite376e3498]

|1+z|²+|1-z|² = 4 ?

[PlaneteF]

|1+z|²+|1-z|² = 4 ?

Ben oui (tu as perdu le fil de l'exo ?)

[gg0]

"|1+z|²+|1-z|² = (1+x+iy)(1+x-iy)+((1-(x+iy))((1-(x-iy)) = 2y²+2x²+2
Oui.

Et |z|=1 dit quoi sur x et y ?

Si par deux méthodes différentes, tu arrives au même résultat, tu peux avoir une certaine confiance.

Bonne nuit !

[invite376e3498]

Donc |1+z|²+|1-z|² = 4. Pour PlaneteF, j'ai toujours du mal à savoir exactement ce que l'on me demande et quand j'ai terminé.

"Et |z|=1 dit quoi sur x et y ?

Que Rcarré de x²+y²=1
Donc x=1 ou y=1

Merci pour votre aide.

[PlaneteF]

Que Rcarré de x²+y²=1
Donc x=1 ou y=1

Surement pas !

[invite376e3498]

Cela signifie quoi alors ?

[PlaneteF]

Cela signifie quoi alors ?

Cf. ton message#10

[invite376e3498]

Juste que x²+y²=1

[PlaneteF]

Juste que x²+y²=1

Remarque : Un nombre complexe de module =1 est bien l'affixe d'un point se trouvant sur le cercle de centre O et de rayon =1 (dont l'équation est x²+y²=1).