espace vectoriel - famille génératrice

[anth0ony]

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour des exercices d'entrainement pour mes partiels donc si vos pouvez m'aidez sa serait cool de votre part.
u = (-1, -2, 4), v = (1, 3, -5) et w = (1, 5, -7), t = (7, 15, -29)
Montrer que l'espace vectoriel E engendré par u et v est égal à l'espace vectoriel F engendré par w et t

voici ce que je fais :
Soit un vecteur e tel que e appartient E
et f un vecteur tel que f appartient a F
On doit montrer que E = F
Donc que e = f
Or e = a.u + b. v et f = a'.w + b'.t
e= (x, y, z) = a(-1, -2, 4) + b(1, 3, -5)
= (-a+b, -2a + 3b, 4a - 5b)

f = (x', y', z') = a . (1, 5, -7) + b . (7, 15, -29)
= (a + 7b, 5a + 15b, -7a -29b)

-a+b = a + 7b
-2a + 3b = a + 15b
4a - 5b = -7a -29b

mais voila je pense que je suis hors sujet donc j'aimerais avoir de l'aide SVP
merci d'avance de votre aide.
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[gg0]

Bonsoir.

"On doit montrer que E = F" oui
"Donc que e = f" Non !

Il n'y a pas de raison que deux éléments pris dans le même ensemble soient égaux ! Car E=F dit que c'est un seul et même ensemble, avec deux noms différents.

Tu dois montrer que tout e est dans F et tout f est dans E.
Donc, en écrivant, comme tu l'as fait :
" e = a.u + b. v [...]
e [...] = a(-1, -2, 4) + b(1, 3, -5)
= (-a+b, -2a + 3b, 4a - 5b)"
il te reste à justifier que e est dans F, donc est une combinaison linéaire (bien précise, mais dépendant de a et b) de w et t.

Une autre façon de faire est de montrer que w et t engendrent u et aussi v.

Ensuite, il restera à faire la réciproque ("tout f est dans E", ou u et v engendrent w et t).

Bon travail !

[gg0]

A noter :

"e= (x, y, z) = a(-1, -2, 4) + b(1, 3, -5) " puis "f = (x', y', z') = a . (1, 5, -7) + b . (7, 15, -29) " est assez malsain. Il n'y a aucune raison pour que les coefficients des combinaisons linéaires soient les mêmes !!! Un lettre dans un calcul n'a qu'une seule signification.

[anth0ony]

il te reste à justifier que e est dans F, donc est une combinaison linéaire (bien précise, mais dépendant de a et b) de w et t.

comment je fais sa ?
e= (x, y, z) = a(-1, -2, 4) + b(1, 3, -5)
= (-a+b, -2a + 3b, 4a - 5b)

f = (x', y', z') = a' . (1, 5, -7) + b' . (7, 15, -29)
= (a' + 7b', 5a' + 15b', -7a' -29b')

je doit montrer que le vecteur e = a.w + b.t soit e = (a + 7b, 5a + 15b, -7a -29b)
soit (-a+b, -2a + 3b, 4a - 5b) = (a + 7b, 5a + 15b, -7a -29b)

-a + b = a + 7b
-2a + 3b = 5a + 15b
4a-5b = -7a -29b

je crois que je suis un peu hors sujet là ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Exias]

Bonjour à tous, je profite de ce sujet pour demander si la méthode que j'ai utilisée pour essayer de faire cet exercice est la bonne :
Nos 2 espaces vectoriels sont des plans vectoriels de R^3, alors pourquoi ne pas simplement utiliser le produit vectoriel de u et v et de w et t et en déduire l'équation des plans et ainsi montrer qu'ils sont égaux ?

[gg0]

Anthony,

inutile que j'essaie de t'aider, tu ne suis pas les conseils, tu te contentes d'imiter des écritures. le fait d'utilisetr partout a et b en est la preuve.
Débrouille-toi.

[gg0]

Exias.

ta méthode marche. Mais n'est pas généralisable.

Cordialement.