Partie generatrice d'un groupe cyclique

[invite2e4a937b]

Bonsoir,
je ne sais pas comment déterminer la partie génératrice d'un groupe cyclique malgré que la définition est bien claire. Si quelqu'un peut m'expliquer aussi la différence entre le générateur d'un groupe cyclique et celui d'un sous-groupe de ce dernier.

Cordialement,
Seif.
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[Seirios]

Bonjour,

Tes questions ne sont pas claires, tu devrais donner un exemple explicite qui te pose problème. Une remarque tout de même : il n'y a pas unicité d'une partie génératrice, donc on ne parle pas de la partie génératrice d'un groupe mais d'une partie génératrice.

[invite2e4a937b]

Bonjour,
merci, prenons par exemple le groupe 'Un' des racines n-ièmes de l'unité.

Cordialement.

[Médiat]

Bien justement : faites-le !
Essayez déjà avec n = 4, c'est très facile

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e4a937b]

Bonjour Mediat,

U4={1,i,-1,-i} est un groupe,
comme 1=i^0 , i=i , -1=i^2 , -i=i^3 alors i est bien un générateur de U4,
j'ai remarqué que -i peut aussi etre générateur de U4 puisqu'elle possède les même propriétés que i donc {i,-i} est la partie génératrice de U4,
d'où U4=<i> ou U4=<-i>.

J'ai remarqué aussi quelque chose:
U2={1,-1} est un sous groupe de U4 puisqu'il vérifie la proposition d'un sous groupe,
mais U2=<1> ou U2=<-1> !!
Donc le générateur (et la partie génératrice) d'un sous-groupe peut etre différent(e) que celui(celle) d'un groupe !

Veillez corriger mes erreurs,
Merci Mediat.

Cordialement,
Seif.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Pour , ceci n'est égal qu'à ; quelque soit le groupe, puisque 1 est l'identité, vaut toujours seulement , soit le groupe trivial à un seul élément.

Autrement, il n'y a rien d'étonnant à ce que n'admette pas comme partie génératrice une partie génératrice de . contient plus d'éléments que et une partie génératrice de ce dernier groupe ne doit générer que des éléments de , aucun de , ce qui oblige que toute partie génératrice de ne peut être contenue dans aucune partie génératrice de .

Une analogie avec les espaces vectorielles peut aider : pour , une famille génératrice (par exemple, une base) est donnée par les vecteurs canoniques , et . Dit autrement, n'importe quel élément de peut s'écrire sous la forme avec des réels. En particulier, tous les vecteurs dans le sous-espace peuvent s'écrire sous la forme précédente. Néanmoins, nous ne disons pas que est une famille génératrice de (même si effectivement elle génère V), parce que B génère plus que seulement V. On remarque que génère aussi V et ne génère que V ; C est une famille génératrice de V digne du nom.

[invite2e4a937b]

Bonjour universus,

je ne connais même pas qu'est ce qu'un espace vectoriel !
Merci à vous tous, j'ai compris !

Cordialement,
Seif.

[invite179e6258]

bonjour,

quand tu écris que {-i,i} est "la partie génératrice" du groupe des racines 4-èmes de 1, tu veux dire que c'est l'ensemble des générateurs de ce groupe. Cette notion est dangereuse, parce que tu vas rencontrer des groupes qui ne sont pas cycliques mais peuvent avoir par exemple 2 générateurs. Dans ce cas, si tu continues à parler de "partie génératrice", il faudra que ce soit un ensemble de paires d'éléments. Et même ça n'est pas très satisfaisant, parce que ça renvoie à l'idée de partie génératrice minimale (analogue d'une base dans un espace vectoriel). Je ne sais pas d'ailleurs si on a un analogue du théorème de la dimension chez les groupes (qui dirait que toutes les parties génératrices minimales ont le même cardinal)?

[invite179e6258]

je me réponds à moi-même : Z peut être engendré par {2,3} mais par aucun de ses sous-ensemble, et aussi par {1}. Et pour un groupe fini?

[acx01b]

le groupe additif Z / 6 Z

tu as comme parties génératrices minimales :
{1},{5},{2,3},{4,3} ?

[inviteafe88240]

Bonjour, je m'incruste mais Universus pourrait tu vider ta boîte de messagerie privée je te prie?

Merci d'avance et bonne matinée.

PS : Désolez du dérangements.