petit o et grand O

[invite524f82a6]

bonjour, j'ai lu :
si f est C^2 on a
f(x)=f(0)+xf'(x)+x²f''(x)+O(x³ )
ce qui est plus précis que
f(x)=f(0)+xf'(x)+x²f''(x)+o(x² )
je veux plus d'explication merci.
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[inviteea028771]

Dire qu'une fonction est un O(x^3) est plus fort que dire qu'une fonction est un o(x^2) :

x^(5/2) est un o(x^2), car x^(5/2) = x^2.x^(1/2) avec x^(1/2) qui tend vers 0 en 0

x^(5/2) n'est PAS un O(x^3), car x^(5/2) = x^3.x^(-1/2), avec x^(-1/2) qui n'est pas borné au voisinage de 0

En gros, quand tu dis que "f est un o(x^2)" tu dis "f tend vers 0 strictement plus vite que x^2", tandis que quand tu dis "f est un O(x^3)", tu dis "f tend vers 0 au moins aussi vite que x^3". Mais il existe des fonctions qui tendent vers 0 plus vite que x^2 mais moins vite que x^3