Fonctions / restrictions

[invitec911ae32]

bonsoir ,

h est une fonction continue de R dans R telle que quel que soit x,y

|h(x)-h(y)|>=|x-y|

h est strictement monotone et h([c,d])=[c,d]
h est supposé décroissante
on cherche la restriction de h à [c;d],
on demande d'utiliser j(x)=c+d-h(x)

je vois pas comment faire.
si quelqu'un aurait une piste svp

j'ai essayée:

h(x) est décroissante donc -h(x) est croissante
comme c <= d alors -h(c)<= -h(d)
donc 0<= d-c et 0<= h(c)-h(d)
donc h(c)-h(d)>=d-c

de même , comme h([c,d])=[c,d] alors à priori d-c>=h(c)-h(d)

donc h(c)-h(d)=d-c

mais sa ne semble menait à nulle part.

j'ai essayé avec limites

h est strictement monotone ( et supposé décroissante ) donc
lim h(x)= -infini donc j(x) tend vers + infini
+infini

et
lim h(x) = + infini donc j(x) tend vers - infini
-infini

ainsi avec le théorème des valeurs intermédiaires on sait que j(x) s'annule
mais sur R donc peut être pas sur [c,d]..

merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

J'ai l'impression que tu as essayé de raisonner sur h, pas sur j. Pourquoi ? Car si on te donne une indication, ce n'est pas pour rien !

Quelques idées : " h([c,d])=[c,d]" et "h est supposé décroissante" donne h(c)=d et h(d)=c
Si l'on rajoute la condition "|h(x)-h(y)|>=|x-y|" pour tout couple (x,y), il est facile de voir que h est déjà entièrement déterminée (elle est affine sur [c,d]).

Cependant, comme des preuves précises de ces affirmations sont délicates à écrire, on te donne un "truc".
Ton travail c'est de traduire sur j les hypothèses, puis de t'en servir.

Une remarque : évite les affirmations grossièrement fausse du style "h est strictement monotone ( et supposé décroissante ) donc lim h(x)= -infini" (la limite était prise en +infini). exp(-x) est strictement décroissante, mais reste positive par définition, comment tendrait-elle vers - infini ?
De plus "strictement monotone" n'est pas dans tes hypothèses (ou tu l'avais oublié !).
Donc rien ne dit que h s'annule, ou j s'annule, d'autant qu'on ne connaît ni c, ni d. Mais ça servirait à quoi de savoir que h s'annule ?

Bon, allez, au vrai travail : étudier j.

Cordialement.

[invitec911ae32]

h(x) est supposée décroissante ( stricte étant donnée que j'ai montrée qu'elle est injective et continue dans une précédente question )

comme et qu'elle est strictement décroissante on a ( car )

-h(x) est donc strictement croissante et comme ; j(x) est strictement croissante


de même,




avec l’inégalité , on a



la stricte croissante de j(x) implique que pour , on a ,

de là , en posant y=c





de même en posant




donc comme et on a


j'ai un doute...

[gg0]

Si tu as des doutes, vérifie à chaque étape que tu as bien appliqué strictement une règle dont les hypothèses étaient vraies.

Mais l'intervention de j se comprend bien (simplification des calculs).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec911ae32]

j'ai vérifiée je pense que c'est bon

Merci pour votre aide Bonne année/soirée