Calcul d'une série

[invite92876ef2]

Bonjour,

Savez-vous comment calculer la somme :



?

Merci !
-----

[invitef3414c56]

Bonjour,

On peut l'exprimer sous forme intégrale, mais ce n'est pas une fonction simple:



Référence: Harry Furstenberg, Algebraic functions over finite Fields, Journal of Algebra 7, 1967, 271-277.

(Voir la première page, où il y a ce qu'il faut pour démontrer cette formule).

Cordialement.

[invite63e767fa]

Cela fait penser au développement en série de la fonction elliptique de première espèce désignée par K(x).
Développer la fonction K(c*x) et adapter le coefficient c pour que la série corresponde.

[invite92876ef2]

Bonjour,

Merci de vos réponses.

Est-ce qu'on peut trouver un développement en série de l'inverse de cette série ?

Ce serait génial.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Alors cette expression est égale à l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de .

Une idée ?

[invite63e767fa]

La somme en question, pour n=0 à l'infini, est égale à (2/pi)*K(16*x)

[invite92876ef2]

Oui je sais. Mais je voudrais un développement en série de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et sqrt(1-x).

[invite92876ef2]

En fait je chercherais un développement limité de au voisinage de 0.
Vous savez comment je pourrais trouver ça ?

[acx01b]

tu voudrais une série entière pour ?

[invite63e767fa]

Si tu voulais un DL de la moyenne arithmético-géométrique de sqrt(1-x) et 1, il fallait le dire tout de suite. Sauf erreur et avec l'aide bienvenue de WolframAlpha, voilà ce qu'on obtient :

[invite92876ef2]

Bonjour,

acx01b : ceci est le DL de (2/pi)*K(16*sqrt(1-x)), pas de la moyenne arithmético-géométrique (qui est l'inverse en fait).
JJacquelin : je n'ai pas pensé à WolframAlpha ! Ton lien ne fonctionne pas et Wolfram ne me calcule pas bien, temps de calcul trop long... Comment fais-tu ?

Merci !

[invite92876ef2]

Je suppose qu'une expression analytique des coefficients est inenvisageable ?

[invite63e767fa]

La méthode utilisée pour mon post précédent est beaucoup trop compliquée.
Avec la forme simplifiée agm(1,sqrt(1-x))=pi/(2*K(x) WolframAlpha donne directement le DL déjà trouvé :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...82*K%28x%29%29
Par contre, espérer arriver au développement infini (avec son terme général explicite) me semble optimiste.
Mais que veux tu en faire ? Je ne vois pas à quoi il peut servir, car la convergence est lente. Si c'est pour du calcul numérique, on fait tout le contraire : on calcule directement la moyenne arithmético-géométrique par itération. Cela sert par exemple au calcul de K(x) et non pas l'inverse.

[invite92876ef2]

A vrai dire il me fallait le coefficient général de la série de l'inverse mais il me semble que ce n'est pas possible...

[acx01b]

sur wiki/Arithmetic–geometric_mean :



donc



ça ressemble quand même beaucoup à

et DL et série entière ça n'a pas la même signification. pourquoi utiliser le terme DL pour série entière ?

[invite92876ef2]

Bonjour.
Ce que tu as écris c'est 1/M(a,b), pas M(a,b).