convergence d'une suite (en topologie)

[zaskzask]

Bonjour à tour,

J'ai un petit problème de topologie:

Soit X={1,2,3,4,5} et T={∅,{1,2},{5},{1,2,5},{1,2,3, 4},X} une topologie sur X. Soit (u_n) définie par u_n=[3+(−1)n]/2 et il faut trouver vers quoi la suite converge et le démontrer.

Je conais la définition de la convergence:

Soit (X, T) un espace topologique et (x_n) une suite d'éléments de X. On dit que (x_n) converge vers l, si
∀U ∈ V(l), ∃N ∈ N tel ∀n ≥ N ⇒ x_n ∈ U.

et du voisinnage:

L'ensemble U est appelé voisinnage d'un point x d'un ensemble topologique (X, T)
s'il existe un ouvert V ∈ T tel que x ∈ V et V ⊆ U. Et on note l'ensemble des voisinnage de x par V(x)

En outre, je vois bien que la suite converge vers 1 et vers 2, mais je ne vois pas trop comment le montrer. De plus, est-ce que la suite converge-t-elle vers d'autre nombres que 1 et 2? Pourquoi?

Pourriez vous m'aider?

Je vous remercie d'avance.
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[toothpick-charlie]

puisque tu connais la définition de la convergence, tu n'as qu'à l'appliquer. Il n'y a pas beaucoup de voisinages de 1 et 2. Commence par les lister pour voir si tu as bien compris la définition.

[zaskzask]

Bonsoir toothpick-charlie,

D'après se que j'ai compris:

Voisinnages de 1:

{1,2},{1,2,5},{1,2,3,4},X,{1,2 ,3},{1,2,4},{1,2,4,5}

Voisinnages de 2:

La même chose.

Est-ce que je me trompes?

[toothpick-charlie]

oui. Tu aurais pu te limiter aux voisinages ouverts, puisque dans la définition de la convergence, la propriété doit être vraie pour tout voisinage, donc en particulier pour le voisinages ouverts, et quant aux autres, ils contiennent par définition un voisinage ouvert. Donc puisque ta suite est (2,1,2,1,2,1,...) elle vérifie bien la propriété pour chaque voisinage de 1, et de même pour chaque voisinage de 2 (qui sont les mêmes).

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

hmmm....

quant aux autres, ils contiennent par définition un voisinage ouvert

C'est parce que l'ensemble vide est un ouvert et qu'il est contenu par tout les ensembles?

[zaskzask]

en fait se que j'ai écris ci-dessus n'a pas de sens, mais pourquoi tout les voisinages non ouverts contiennent-ils au moins un voisinage ouvert?

[toothpick-charlie]

c'est dans la définition, tu l'as écrite au début.

[zaskzask]

au temps pour moi.

Merci!