Calcul intégrale généralisée

[imanenami]

Bonjour à tous,

SVP j'ai besoin d'avoir la valeur de l'intégrale ci-joint.

J'ai utilisé la 2ème formule de la moyenne (en transformant l'intégrale de [0 00] en une intégration sur [0 t] avec t>0 puis j'ai calculé la limite lorsque t--->+00), mais le calcul de la limite ne donne pas une valeur déterministe, j'ai juste fait des encadrements pour démontrer que la limite existe mais je n'ai pas trouvé un moyen pour donner la "vraie" valeur de cette limite

Avez-vous d'autres suggestions?

Merci d'avance.
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[invite06622527]

Bonjour,
L'image jointe n'est pas très nette. Je suppose que ce n'est pas (b/(x+1))*c*x, mais que c'est (b/(x+1))-cx qui est dans l'exponentielle.
Si c=0 l'intégrale peut être exprimée analytiquement grâce aux fonctions de Dawson, ou erfi.
Si non, l'intégrale pourrait faire intervenir des fonctions spéciales d'un haut niveau tel qu'elles ne serraient probablement pas répertoriées. Je doute donc que ce soit possible autrement que par du calcul numérique.

[imanenami]

Bonjour,

Merci pour le feedback JJacquelin

Je reviens pour éclaircir l'écriture de l'intégrale. Il s'agit de calculer:



Il s'agit bien donc de (b/(x+1))-cx et non pas (b/(x+1))*c*x.

Les constantes sont supposées toutes supérieures strictement à 0. Le "c" est donc non nul, et c'est ce qui rend le calcul complexe en fait!!

Je ne sais pas si vous avez une idée sur le calcul numérique de cette intégrale, sur Matlab ou autre logiciel?

[invite06622527]

Les logiciels mathématiques existant sont certainement capables de faire le calcul. Encore faut-il leur fournir les valeurs numériques des paramètres a, b et c.
Tu peux essayer avec WolframAlpha en accès libre. Par exemple:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...om+x%3D0+to+10.

[A voir en vidéo sur Futura]

[imanenami]

Merci pour le lien JJacquelin. J'ai déjà essayé d'effectuer le calcul sur wolfram mathematica integrator, mais ça n'a abouti à aucun résultat.

L'exemple que tu viens de faire donne une intégration de la fonction sur un intervalle borné, or, l'intégrale que j'ai proposé doit être calculée sur .

Pour les valeurs a et b et c, je préfère les déclarer comme des constantes positives sans leur donner de valeurs, car leurs valeursdépendent de certains paramètres d'entrée. J'ai besoin donc d'avoir la valeur de l'intégrale en fonction de ces paramètres (a, b et c) de manière générale!! Je ne sais pas pourtant si c'est possible!

[ansset]

en chg de variable j'arrive à ça, mais c'est pas beaucoup mieux.

[imanenami]

Ansset,

Quel est le changement de variable que vous avez considéré? L'écriture de l'intégrale que vous avez retrouvée n'est pas claire, s'agit-il d'une exponentielle d'exponentielle?

[invite06622527]

Lorsqu'on fait de l'intégration numérique, l'intervalle est forcément borné. Il s'agit de choisir une borne qui donne le même résultat numérique que si elle tendait vers l'infini.
Dans le cas présent, la fonction est très rapidement décroissante. Donc il n'y a pas à aller chercher une valeur élevée pour la borne supérieure. Avec l'exemple numérique précédent, essayez avec 10, 50, 100 ou plus, le résultat sera le même, à la précision de calcul indiquée par le nombre de digits du résultat.

[ansset]

Ansset,

Quel est le changement de variable que vous avez considéré? L'écriture de l'intégrale que vous avez retrouvée n'est pas claire, s'agit-il d'une exponentielle d'exponentielle?

non, une multiplication d'exponentielle..j'ai laissé le terme en e(-c/u) à part car le premier est une exp de polynôme du second degré.
cht t=x+1
u=1/t
l'intérêt est que le terme en 1/(x+1)² disparait car (dt)'=(-1/u²) du
( enfin, j'ai fait ça vite, en espérant ne pas avoir oublié un terme )

[invite06622527]

Avec le changement de x en (1/x)-1 et intégration entre 0 et 1 , le résultat est le même :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...rom+x%3D0+to+1

[ansset]

je te crois, ça me rassure .
mais je n'ai pas d'outils comme vous. je vais en prendre un , mais je n'y connais rien !
cordialement.

[invite06622527]

Citation : "J'ai besoin donc d'avoir la valeur de l'intégrale en fonction de ces paramètres (a, b et c) de manière générale!! Je ne sais pas pourtant si c'est possible! "
On ne peux jamais dire avec une absolue certitude que c'est impossible. En effet, il y a peut-être, dans une publication spécifique et peu connue, une fonction spéciale qui a été définie pour les besoins de la cause et qui permettrait d'exprimer l'intégrale sous une forme symbolique. Mais, même si par chance c'était le cas pour cette intégrale (ce dont je doute fort), on n'en serait pas plus avancé car ce serait tout aussi compliqué et même plus, que l'intégrale elle-même, pour toute utilisation et calculs ultérieurs. Le logiciel nécessaire pour le calcul numérique d'une telle fonction spéciale serait probablement plus compliqué qu'un logiciel disponible permettant le calcul numérique direct de l'intégrale figurant dans l'énoncé du problème.

[ansset]

je suis d'accord.
le reflexe de LA solution analytique est parfois bien tortueuse ( je dirais même très française ), alors qu'une approche numérique directe donne souvent de très bons résultats.

[ansset]

Pour les valeurs a et b et c, je préfère les déclarer comme des constantes positives sans leur donner de valeurs, car leurs valeursdépendent de certains paramètres d'entrée. J'ai besoin donc d'avoir la valeur de l'intégrale en fonction de ces paramètres (a, b et c) de manière générale!! Je ne sais pas pourtant si c'est possible!

d'accord, mais elles ne sont pas qcq non plus, tu dois pouvoir les encadrer , non ? ou pas du tout ?
ont elles par ailleurs des sortes de liens entre elles ?

[imanenami]

JJacquelin, Ansset, Merci pour vos feedback

Les deux changements de variables proposés par Ansset

cht t=x+1
u=1/t

et celui proposé par JJacquelin

le changement de x en (1/x)-1

sont équivalents.

On est, justement, amené à calculer l'intégrale qu'avait retrouvé Ansset.

Le calcul devient systématique sur le lien qu'avait proposé JJacquelin puisque l'intervalle de l'intégration devient borné.

Je reviens vers mes paramètres a, b et c. Bien sûr il ne sont pas arbitraires. Ils sont exprimés en fonctions d'autres paramètres dont on connaît les valeurs (avec a et b sont linéairement dépendants, a=alpha*b).
Par contre, moi j'ai besoin de les garder comme ça car je dois intégrer le résultat de cette intégrale dans un script Matlab dont les paramètres qui donnent a, b et c sont définis par une plage de valeurs >0
En fixant les valeurs de a, b et c et en utilisant l'intégrateur en ligne, mon code ne sera pas général, je dois faire rentrer la valeur de l'intégrale à chaque fois que je change un de ces paramètres, ce qui est pénible!!

Avez-vous d'autres solutions?

[topmath]

Bonjour à tous : A ma connaissance et vue que cette intégrale et finie , et ça été prouver par des exemples (JJacquelin, Ansset) , n'est il pas souhaitable de démontrez ainsi que cette intégrale est convergent en premier lieux , si c'est le cas peut on utiliser la méthode des résidus pour on finir avec cette intégrale puisse que présente une singularité (pôle d'ordre 2) en .

Cordialement

[invite06622527]

S'il s'agit d'une programmation sur MATLAB, il n'y a pas besoin de WolframAlpha ou d'un autre intégrateur en ligne. MATLAB possède son propre intégrateur numérique. Il n'y a qu'a faire appel à lui.

[imanenami]

topmath,

Pour démontrer la convergence de l'intégrale, on a la fonction est continue et positive sur l'intervalle . Je pense qu'il suffit de multiplier la fonction par avec qui vérifie:


Cette condition est vérifiée s'il l'on prend par exemple, d'où la convergence de l'intégrale.

Mais franchement je n'ai aucune idée sur comment appliquer la méthode des résidus! Est ce qu'elle permet de trouver la valeur de l'intégrale en closed form? Quelles sont les conditions d'application de cette méthode? sont-elles vérifiées dans mon cas?

JJacuelin,

Comment puis-je faire appel à l'intégrateur numérique sur Matlab?

Merci à vous

[ansset]

tu veux dire qu'elle est trop "longue" à taper et que tu voudrais la "raccourcir" ?
parce que je ne vois pas de formule I(a',b',c')=F(I(a,b,c))

[invite06622527]

De mémoire, car je n'ai pas MATLAB sous la main : Le plus simple est d'utiliser une fonction "quad" pour les intégrations numériques.
Autre façon de faire : il est facile de programmer soi-même un petit code d'intégration numérique. Il y a des exemples dans : http://www.iro.umontreal.ca/~mignott...425/Matlab.pdf

[ansset]

par contre, je ne vois pas de pb de convergence.
l'intégrale s'écrivant sur un intervalle borné d'une fonction bornée.
tu peux d'ailleurs très facilement la maximiser.

[topmath]

Bonsoir à tous :

topmath,

Pour démontrer la convergence de l'intégrale, on a la fonction est continue et positive sur l'intervalle . Je pense qu'il suffit de multiplier la fonction par avec qui vérifie:


Cette condition est vérifiée s'il l'on prend par exemple, d'où la convergence de l'intégrale.

Mais franchement je n'ai aucune idée sur comment appliquer la méthode des résidus! Est ce qu'elle permet de trouver la valeur de l'intégrale en closed form? Quelles sont les conditions d'application de cette méthode? sont-elles vérifiées dans mon cas?

JJacuelin,

Comment puis-je faire appel à l'intégrateur numérique sur Matlab?

Merci à vous

Oui imanenami je suis très persuader que cette intégrale trouve un un résultat closed form pourquoi et bin tout simplement les conditions sont remplie à l ' exception d'une que j’hésite car
la fonction exposer ici dans l'énoncé et ni paire ni impaire et justement dans ce cas précis y'a un théorème qui m'échappe bref en tout état de cause cette intégrale trouve une solution en analyse complexe Théorème des résidus.

Si ça peut aussi vous intéresser une discussion similaire Calcul d'intégrales par la méthode des résidus .

Cordialement

[imanenami]

Bonjour à tous,

Merci beaucoup pour vos feedbacks

En fait, j'ai trouvé un outil qui donne le même résultat de calcul numérique que Wolfram Alpha, il s'appelle Scientific WorkPlace. Il a même arrivé à calculer la première expression de l'intégrale définie sur l'intervalle [0, + \infty].

Bref pour le calcul de l'intégrale, je suis obligée de trouver un moyen pour le faire analytiquement , car j'ai besoin de son expression non seulement pour l'implémenter sur Matlab mais aussi pour une démonstration théorique.

Le théorème des résidus s'avère la méthode la plus probable pour se faire, vu que tous les changements de variables classiques n'ont pas abouti à des résultats!!

Si quelqu'un parmi vous est familiarisé avec ce genre de calcul, j'aimerais bien avoir plus d'éclaircissements sur l'application de cette méthode dans ce cas (fonction ni paire, ni impaire).

Merci d'avance.

[invite06622527]

Désolé de jouer le rôle du rabat-joie, mais ne sois pas si optimiste !
Ce que tu espères n'est réalisé que dans les "cas d'école" et dans peu de cas, comparé à la majorité des cas que l'on rencontre dans la réalité. Il ne faut pas oublier que la plupart des fonctions spéciales ont été crées pour surmonter des situations comme celle à laquelle tu est confronté. Bien sûr, sans pouvoir en donner de preuve, il est probable que vouloir à tout prix trouver une "closed form" pour cette intégrale obligerait à créer une nouvelle fonction spéciale (*), avec tout ce que cela implique d'études et de publications avant qu'elle soit reconnue, utilisée dans la littérature spécialisée et qu'elle soit implémentée dans les logiciels de calcul.
(*) Pour une réflexion à ce sujet, voir (entre autres) l'article de vulgarisation : "Safari au pays des fonctions spéciales" http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Bonne chance, en te souhaitant que mon opinion soit contredite par un génial calcul d'analyse complexe : La méthode des résidus fait beaucoup de choses, mais pas de miracles !

[ansset]

je crois t'avoir posé la question:
mais a t-on d'autres informations sur a,b,c à part a=ub ?
sait-tu déjà encadrer ces valeurs ? ( c surtout )

quand à la convergence, je sais pas pourquoi on en reparle puisque c>0

[imanenami]

Bonsoir,

Merci JJacquelin pour le feedback. I get your point

Ansset,

C'est justement là le problème, je ne peux pas vraiment donner trop de précisions concernant les valeurs des paramètres, car ils sont exprimés en fonction d'autres paramètres qui peuvent prendre plusieurs valeurs!! J'arrive pas à faire des encadrements!!

Bref, là je peux partager avec vous le calcul que j'ai fait initialement pour arriver à cette forme d'intégrale. Il s'agissait en fait de calculer l'intégrale:



avec:



"c" est le même que dans l'intégrale précédente, Cte1 et Cte2 sont des constantes positives

J'ai procédé à une intégration par partie en prenant:

dont la primitive est:
et dont la dérivée est:

Tout calcul fait, on trouve:



a et b sont exprimés en fonction des autres constantes.

Peut-être vous trouverez d'autres pistes qui éviteront de tomber dans cette intégrale.

J'attend vos feedbacks.

Merci beaucoup

[ansset]

pourquoi as tu abandonné la formulation sous forme d'intégrale de 0 à 1 ?

[imanenami]

pourquoi as tu abandonné la formulation sous forme d'intégrale de 0 à 1 ?

Je n'ai pas abandonné la formulation sous forme d'intégrale de 0 à 1, j'ai juste partagé avec vous le calcul initial qui m'a conduit à l'intégrale que j'ai publié lors de mon premier post sur le forum (question de voir, peut être, une autre façon de résoudre l'intégrale "Int" sans passer par l'intégration par partie à laquelle j'ai procédé).

Bien sûr, après le changement de variable que vous avez proposé toi ou Jaccquelin on retrouve la nouvelle formulation de l'intégrale sur l'intervalle [0, 1].

[ansset]

pourquoi n'essayes tu pas une somme de Riemann sur l'intégrale de 0 à 1.
ps : je n'ai pas essayé, mais c'est peut être une piste.