Inégalité de la moyenne - Intégrale

[invite11fb6e68]

Bonjour

J'ai trouvé plusieurs source sur le net qui disent :
Soient (un polynome dans mon cas) et
Alors tel que :


J'ai besoin d'aide pour démontrer ce résultat.
Sur les différentes sources que j'ai trouvé, ils disent : "en utilisant le théorème de la moyenne".
Je commence donc mon raisonnement comme ceci :
J'applique le théorème de la moyenne sur f, j'obtiens qu'il existe c dans [a,b] tel que :

Ensuite je multiplie cette égalité par l'intégrale de p, dans l'espoir de m'approcher du résultat voulu. Et j'en viens donc à vouloir démontrer que :

Sauf que ceci est bien évidemment faux : il suffit de prendre f(t)=p(t)=t sur l'intervalle [0,1] pour s'en rendre compte ...
Donc je suppose que le c présenté dans le théorème du début n'est pas directement celui qui sort de l'application du théorème de la moyenne à f, mais une autre valeur. Mais du coup je ne vois pas comment on démontre son existence ...

Merci pour votre aide

lg53
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[Seirios]

Bonsoir,

Au pire, tu peux reprendre la démonstration du théorème de la moyenne à partir du théorème des valeurs intermédiaires :

On définit . Ensuite, atteint son maximum en un point , et son minimum en un point . Alors et , donc il existe un tel que , ie.

[acx01b]

il ne manque pas dans l'énoncé ?

[Seirios]

Je l'ai d'ailleurs implicitement supposé dans ma réponse...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11fb6e68]

Merci Seirios pour cette démo.
En effet il manque l'hypothèse dans l'énoncé.
J'avais fais la démo du théorème de la moyenne avec le théorème des accroissements finis.
Donc j'avais pensé à reprendre cette démo pour montrer le résultat voulu, mais fatalement il fallait que j'écrive une primitive de f(t)p(), donc ca bloquait aussi.

Merci encore

lg53