Pourquoi cette égalité entre différentielle est-elle fausse ?

[invite07c97bce]

Bonjour à tous et à toutes !

Depuis la première année de PCSI, on nous dit que

df(x)/dt=( d(f(x))/dx )*( dx/dt ) est vrai, mais qu'il ne s'agit pas d'une simplification des dx. J'ai aussi entendu dire (ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...ielle-pfd.html) que c'était une horreur mathématique. Que faire ? Je pense notamment - en physique - à la dérivée casse-pied de thêta point carré par rapport au temps, et également à la méthode de séparation des variables (si on ne peut pas simplifier, comment pourrait-on multiplier les deux membres d'une égalité par une différentielle, pour ensuite intégrer ?).

Ce genre de questions est fréquent : ça pose des questions profondes sur la nature des dérivées, et on s'aperçoit qu'on peut résoudre des problèmes scientifiques sans avoir vraiment compris ce qu'était une dérivée, et qu'on ne le comprend que rarement en cours de physique ou de maths.
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[gg0]

Bonjour.

Il n'y a rien de particulièrement profond dans la notion de dérivée et dans la formule que tu cites (qui est simplement la formule de dérivation des fonctions composées.
Effectivement, il ne s'agit pas de produits de fractions, mais la formule dit justement qu'on a le droit ici de simplifier par les dx comme d'habitude .
Sinon, pour certains puristes, c'est effectivement une horreur mathématique, mais comme il n'existe aucun formalisme à la fois pratique, évocateur et simple, on ne se gène pas pour l'écrire ainsi, voire même, à la physicienne, remplacer f(x) par y par exemple. Les mathématiciens ne se compliquent pas la vie, ce qui compte c'est d'être au clair sur ce qu'on manipule dans les notations (et que le lecteur le soit aussi)

Sinon, ta phrase "qu'on ne le comprend que rarement en cours de physique ou de maths" m'inquiète sur la qualité pédagogique de tes profs

Cordialement

[Amanuensis]

[acx01b]

au secours ! ça me rappelle mes pires cauchemars en physique où on ne savait jamais qui était une constante, qui était une fonction, de quelles variables (et de combien), par rapport à quoi on dérivait ou on intégrait, etc.

il faut écrire :



(si f(y) dérivable en y = x(t) et x(u) dérivable en u = t)

ou à la rigueur



Sinon personne ne comprend que c'est juste la dérivation des fonctions composées.

La plupart des formules de physique deviennent beaucoup plus simple quand on les écrit correctement !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Là, on ne sait pas en quel point s'applique

Et celle là réutilise la même notation, x, comme une fonction (dans x(t)) et une variable (dans dx).

La plupart des formules de physique deviennent beaucoup plus simple quand on les écrit correctement !

Bien d'accord

[gg0]

A noter : Il ne s'agit pas d'égalité entre différentielles, mais d'égalités entre dérivées.

Dans ce cas, le classique (gof)'=f'.g'of a l'avantage ! mais nécessite de donner un nom à toute fonction utilisée.

Cordialement.

[invite07c97bce]

Effectivement, il ne s'agit pas de produits de fractions, mais la formule dit justement qu'on a le droit ici de simplifier par les dx comme d'habitude .

On a donc le droit (vous dîtes une chose et son contraire) ? Et ainsi une différentielle se comporterait comme un scalaire... Si je pose ces questions, c'est que, contrairement à ce que vous croyez, la dérivée étant un quotient de différentielles, on se pose beaucoup de questions quand on commence vraiment la science après le bac : par exemple, la différentielle n'étant pas un nombre (alors qu'on écrit "dx>0" parfois, ou "ceci n'est vrai que si dx est non nul") - comme le dit Hegel, le calcul différentiel repose sur une négation de la grandeur (dx n'est ni un zéro ni une quantité déchiffrable) -, comment se fait-il qu'un tel quotient soit un nombre ? On nous introduit mal les différentielles, en nous disant (pourtant avec justesse) : "Une différentielle est une petite variation" - ce qui pose un problème lors des passages (dérivée-intégrale) de dx à delta x. Mon professeur était un normalien, j'ai recopié exactement ce qu'il avait écrit (pas la peine de crier "au secours"). La philosophie Hégélienne a d'ailleurs tiré profit de la définition de la différentielle pour critiquer ce concept.

[gg0]

Bonjour.

Je ne dis pas une chose et son contraire. Relis vraiment !

"contrairement à ce que vous croyez, la dérivée étant un quotient de différentielles, on se pose beaucoup de questions quand on commence vraiment la science après le bac"

Non, la dérivée n'est pas un quotient de différentielles. Et si on se pose sérieusement des questions, on regarde de près ce qu'est une dérivée, sans interpréter abusivement une notation du dix-septième siècle toujours utilisée aujourd'hui.

Rien n'interdit de "commencer vraiment la science" avant le bac, puisqu'il s'agit seulement de faire rigoureusement les preuves. Mais encore faut-il savoir de quoi on parle :
Le nombre dérivé (quand il existe) est la limite d'un rapport de variation. Rien n'interdit d'écrire ce rapport ou ou plus simplement f'(x). mais ce rapport n'est pas la dérivée.
La fonction dérivée de f est . On la note souvent f', ce qui est simple. On la note aussi parfois f'(x) par abus de notation, x restant une lettre (dérivée de x² : 2x - à chaque écriture, la confusion entre f et f(x)).

La notation est pratique dans beaucoup d'applications, et si y=f(x) sert à noter soit la fonction dérivée f', soit le nombre dérivé f'(x). Quand il n'y a pas de risque de confusion, on voit qu'on a remplacé les par des . Ce qui correspond à l'idée ancienne d'infiniment petit, qui fit admettre calcul différentiel et calcul intégral comme des outils habituels de l'analyse. On peut aussi définir de façon ad hoc une notion de différentielle par la convention : si y=f(x), alors dy=f'(x) dx. Dans ce cadre, f'(x) devient un quotient de différentielles (dx étant la différentielle de ). Et la formule dont tu parlais au début une simple simplification de fractions.
Maintenant, j'ai effectivement dit une chose et son contraire : Que la dérivée n'est pas un quotient de différentielle, et qu'elle l'est. mais examine le contexte : Elle ne l'est pas de façon absolue, puisqu'il s'agit soit d'une limite, soit d'une fonction qui n'est pas définie comme un quotient. Elle l'est dans le cadre d'une théorie bien particulière dont l'utilité est seulement de donner une caution à la simplification qui peut être faite par assimilation.

Dernière chose : Si la notion de différentielle a été introduite par un physicien, il ne s'agit pas de la notion mathématique de différentielle, mais de l'outil conceptuel des physiciens issu des infiniment petits. Il évite de longues justifications par les limites, et unifie dérivation et intégration dans un langage commun. Mais il n'est utilisable qu'avec une bonne intuition physique pour ne pas se faire piéger.

Cordialement.

[Médiat]

comme le dit Hegel, le calcul différentiel repose sur une négation de la grandeur (dx n'est ni un zéro ni une quantité déchiffrable) -, comment se fait-il qu'un tel quotient soit un nombre ?

Bien avant Hegel :

Mais que sont ces incréments évanescent ? Ce ne sont pas des quantités finies, ni des quantités infiniment petites, ni même rien du tout. Ne pourrions nous pas les appeler des fantômes de quantités défuntes ?

Notez que l'analyse non standard a résolu ce problème avec une infinie élégance.

[gg0]

Autre chose :

Invoquer Hegel dans une discussion mathématique n'a pas beaucoup de sens. D'autant que ces notions de dérivée et différentielle étaient en train d'être mises au clair à son époque. Comme il ne me semble pas être un mathématicien philosophe au courant des mathématiques de son temps, il parle de mathématiques depuis longtemps dépassées. Même Kant, mathématicien de formation, est passé à côté, faisant de la géométrie euclidienne une base inébranlable juste avant l'époque où se construisirent les géométries non euclidiennes.

Cordialement.

[invite07c97bce]

Merci à tous pour vos réponses.

Je comprends mieux : la dérivée étant la limite du taux de variation, on l'écrit comme (et je dis bien "comme") un quotient de différentielles : il s'avère que cette écriture - df(x)/dx (et pas df/dx si j'ai bien compris, pour ne pas confondre la fonction f et son image f(x)) - vérifie certaines règles de simplification, en voyant df(x)/dx comme un quotient.

Notez que l'analyse non standard a résolu ce problème avec une infinie élégance.

Je cherche partout la critique de Russell de la philosophie mathématique hégélienne, sauriez-vous où je peux la trouver ? Par ailleurs, il n'est pas insensé de faire intervenir Hegel dans une discussion mathématique ; il m'a lui-même beaucoup aidé à comprendre la nature des différentielles (c'est ce que je voulais dire en écrivant : "ça pose des questions profondes" : ça en pose aux élèves, qui peinent à comprendre cette idée qu'une dérivée puisse vérifier ce qui semble une simplification sans être un quotient (ou puisse permettre les séparations de variables), et ne remet pas en doute le formalisme mathématique, contrairement à ce que pensait Hegel lui-même). Hegel n'était pas en retard, comme on le pense trop souvent, sur les mathématiques de son temps. Il avait lu Gauss et Legendre par exemple. Son oeuvre n'est pas entièrement défectueuse, et elle est à vrai dire brillante (de même que Descartes ou Platon furent des hommes brillants).

[Médiat]

Bonjour,

Serait-ce dans "The history of western philosophy" ?

Si oui, il est trouvable sur le net.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Si tu prend un espace vectoriel de dimension 1. Alors si v et w sont deux vecteurs de cet espace, il existe bien (des que w est non nul) un unique t scalaire tel que v=tw.
Poser t=v/w est loisible comme ecriture, mais il faut bien comprendre que ca n'est pas un quotient, juste une notation. Avec cette ecriture v/w.w/u=v/u, ou meme w=w/v.v
L'ecriture df/dx=df/dy.dy/dx, ou meme df=df/dx.dx n'est rien d'autre que cela.

[Amanuensis]

Si la notion de différentielle a été introduite par un physicien, il ne s'agit pas de la notion mathématique de différentielle, mais de l'outil conceptuel des physiciens issu des infiniment petits.

Cela est faux, écrit comme généralité. Peut-être le cas dans les toutes premières années de cursus, en mécanique classique. Mais faux pour la thermodynamique, où on trouve couramment, par exemple, la notion de différentielle totale. Et faux en physique un tant soit peu avancé.

[gg0]

D'accord avec toi, Amanuensis,

mais il est évident dans son message que Andreuxyoupi ne parle pas de ça, ni des formes différentielles, ni des différentielles de fonctions de Rⁿ dans R^p.
J'ai bien parlé de notion "introduite". J'essaie de m'adapter aux questions.

Cordialement.

[Amanuensis]

Suffisait d'écrire "professeur de physique au lycée", par exemple. L'adaptation au sujet devenait explicite.

Il y en a sur ce forum qui aiment bien jouer d'une opposition caricaturale entre mathématiciens et physiciens, du coup cela amène à réagir aux tournures généralisatrices.

[gg0]

Je n'ai rien contre la physique, j'y ai appris beaucoup de mathématiques. Mais la façon de calculer est souvent guidée par l'intuition, et le jour où l'on veut justifier cela correctement, il faut changer parfois de façon de voir. cf le calcul de heaviside et les distributions !
Je n'ai pas attribué cette présentation à un prof de lycée, et je ne vois pas pourquoi ce ne serait pas plus un prof de prépa, vu ce qui est dit dans le premier message. J'ai vu les cours de prépa de mon fils autrefois, son prof de physique de sup ne faisait que des calculs (pas des maths) de ce style. Même en ne faisant que les DM de physique en spé (et pas ceux de maths !), il n'a pas pu rattrapper le niveau.

Cordialement.

[invite7ce6aa19]

Je n'ai rien contre la physique, j'y ai appris beaucoup de mathématiques. Mais la façon de calculer est souvent guidée par l'intuition, et le jour où l'on veut justifier cela correctement, il faut changer parfois de façon de voir. cf le calcul de heaviside et les distributions !

Bonjour,

Je suis d'accord avec toi, la physique dans une première période d'apprentissage est du calcul et non des mathématiques, et c'est un excellent apprentissage puisque cela permet de faire de la physique en liaison avec le langage symbolique des mathématiques. Le problème est que si on ne monte pas dans l'abstraction (au sens des mathématiques) on va se retrouver dans des impasses cad incapable de comprendre et modéliser une situation physique.

Pour aborder un problème concret amusant. Je me suis trouver dans un jury de thèse d'un expérimentateur. Un moment l'impétrant montre le dessin des lignes de champ dans une cavité hyperfréquence. Il explique que dans certains endroits les lignes de champs sont orthogonales!!! Membres du jury tres gêné car l'orthogonalité des champs c'est dans un espace de fonctions munis d'un produit scalaire. Le problème est que cette personne ignorait qu 'une fonction pouvait être vu comme un élément d'un espace vectoriel.

Il y a donc ici une lacune flagrante d'une notion élémentaire de mathématiques (premier cycle) sur les espaces vectoriels. Cela veut dire que dans les manipulations de Maxwell on insiste tellement sur l'origine et le contenu physique que les structures mathématiques ne sont pas mises en évidence, ce qui va coincer quelquepart.

Dans l'enseignement trop précoce de la MQ on voit assez rapidement que certains ne voient pas trop la différence entre la correspondance entre x et y par f et l'objet f en soi. c'est le rôle des maths de faire ce boulot. On peut faire une analogie entre un programme où les entrées sont x et les sorties y et le programme c'est f. Ce qui permet de faire un nouveau programme qui enchaîne qui prend les sorties y et qui va donner par g la sortie z. On écrira:

g.f (x) = z= h(x).

on peut mettre les programmes en série parallèle: g.f + n.m etc... (idée d’algèbre de fonctions)

Pour une dérivée on pourra écrire D f(x) = f'(x); Ici l'entrée est f et la sortie est f' et le programme c'est D qui en termes d'accroissement peut s'écrire dy = f'(x).dx

Du coup on peut enchaîner des programmes sous la forme: D.D f(x) = D f'(x) = f''(x)

A partir de cette idée on peut généraliser progressivement une notion de dérivée :

D (V.W) = [D(V)].W + V.[D(W)] V et W sont des vecteurs

En donnant la définition d'une dérivée sous la forme D (A/B) généralisation de dy/dx

En résumé le physicien a besoin dans sa progression une version claire du langage mathématique (on appelle çà la boite a outils). La difficulté de l'enseignement est qu il est pratiquement impossible de synchroniser les cours de maths et les cours de physique, car chaque enseignement suit sa propre logique.