Tribu borélienne sur R²

[jujudu59123]

Bonjour,

Je me posait une question:

Es ce que ]a,b] x [c,d] est un borélien de R². J'imagine que non mais bon je veut en être sur!
Merci d'avance
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[toothpick-charlie]

on peut voir les boréliens de R^2 de deux manières. Soit comme engendrés par les ouverts de R^2, donc in fine par les boules ouvertes. Soit comme tribu produit sur l'espace produit. Auquel cas ils sont engendrés par les rectangles (par exemple, mais aussi par des "bandes" de la forme Rx]a,b[ et ]a,b[xR ). Il faut montrer que c'est la même chose bien sûr (=> exercice pour la semaine prochaine)

[jujudu59123]

Très bien, j'y réfléchirais!

Je voudrais savoir néanmoins si je prend une suite d’éléments de R tel que la suite tende vers b et soit croissante, alors je peux écrire

ou non?

[gg0]

Là encore, il suffit de le démontrer.

Par exemple par double inclusion. Le premier membre est contenu dans le second de façon évidente. l'inclusion inverse est la traduction de la limite.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jujudu59123]

Auquel cas ils sont engendrés par les rectangles (par exemple, mais aussi par des "bandes" de la forme Rx]a,b[ et ]a,b[xR ). Il faut montrer que c'est la même chose bien sûr (=> exercice pour la semaine prochaine)

Je ne vois pas trop en quoi de fais de savoir cela peut me dire si oui ou non ]a,b] x [c,d] est un borélien de R².

[toothpick-charlie]

eh bien il faut voir si ton ensemble ne peut pas être construit à partir des cylindres (c'est le terme technique pour ce que j'appelais "bandes") en utilisant les opérations permises dans une tribu : passage au complémentaire et intersection.

[jujudu59123]

(bi) est une suite croissante qui tend vers b
ce qui équivaut à il existe

Soit
alors il existe i tel que

[jujudu59123]

je pense qu'avec la tribu produit je trouverais un théoreme qui me dis que B(R²) = B(R) x B(R)
donc qui me permettrait de montrer que meme [a,b[ x [c,d] est un borélien de R²?

[gg0]

Il n'y a aucune raison que B(R²) = B(R) x B(R).

Pense à un ouvert de R² en forme de triangle, et regarde ses projections sur les deux axes.

Il serait bon que tu fasses quelques dessins pour bien voir de quoi tu parles : R² est représenté par un plan muni d'un repère orthonormal, chacun des axes représente un des R du produit.

D'un point de vie topologique, tout revient à prouver que la topologie classique de R², engendrée par les disques ouverts, peut être engendrée par les rectangles ouverts.


Cordialement.

[jujudu59123]

Ok très bien.
Dites moi juste si oui ou non, [a,b[x[a,b] est un boréliens de R²

merci d'avance

[gg0]

Ben ...

dis-nous quelle est ta définition de "borélien" et, si c'est la tribu engendrée par les ouverts (ou par les fermés), quelle est la topologie de R² qui te sert.
On peut bien sûr te donner des réponses par oui/non, mais tu ne vas pas apprendre par coeur les milliers de réultats partiels dont tu aurais besoin et qui se retrouvent immédiatement avec quelques connaissances de base.

Cordialement.

[jujudu59123]

Non je sais bien, mais je ne vais pas m'épuiser a tout démontrer non plus (parce que je me pose énormément de questions, donc ça ne serais pas possible) et puis je préfére savoir ce que je veux démontrer avant de le faire!

Ma définition de boréliens, enfin c'est plus une propriété que j'utilise, c'est la tribu engendré par les pavé [a,b]x[c,d] tout simplement.

[toothpick-charlie]

oui c'est un borélien. Mais tu as tort : il _faut_ démontrer les choses simples comme celle-là. C'est normal de se contenter de lire les démonstrations des théorèmes difficiles, parce qu'on perdrait trop de temps à essayer de les démontrer, et d'ailleurs certaines démonstrations utilisent des astuces impossibles à trouver pour le commun des mortels, mais il faut démontrer par soi-même les résultats élémentaires. Il n'y a que comme ça qu'on apprend les mathématiques.

[gg0]

Si "c'est la tribu engendré par les pavé [a,b]x[c,d] tout simplement", tu as une preuve que " [a,b[x[a,b] est un borélien de R²", tu l'as déjà rédigée. Pourquoi ,perds-tu ton temps à reposer la question ?