Calcul d'une primitive

[Le petit belge]

Bonsoir,

Au beau milieu d'un exercice laborieux, je suis face à une primitive qui, je pense, est relativement simple à calculer, mais je n'en suis pas sur:

Question 1: (la question simple)

Primitive de 1/(x+i) (où i est l'unité imaginaire pur)? S'agit-il de ln( l x+i l )?

Question 2: (pour les plus courageux)

On me demande de calculer une primitive de 1/((x^2+a^2)(x-b)^2) où a et b sont réels, x est une variable réelle. J'ai utilisé le théorème de décomposition en fractions simples, mais le système à résoudre est assez effroyable pour déterminer les coefficients (je résous par Cramer, j'ai pris 4 pages, et je suis à peu près sur de m'être planté en cours de route). Si quelqu'un à une méthode plus rapide que Cramer, ça m'intéresse
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[gg0]

Bonjour.

1) S'agit-il de fonctions réelles de la variable complexe ? Si oui, la première chose à faire est d'écrire la fonction sous la forme algébrique :

Et on a deux dérivées classiques.
2) Je ne comprends pas trop la difficulté. On pose

p se calcule par la méthode des pôles simples, puis en multipliant par x les deux membres et faisant tendre x vers l'infini, on obtient une relation entre m et q. Il reste seulement deux lettres à trouver, par la méthode que l'on veut.

Cordialement.

[Le petit belge]

Merci pour votre réponse,

1) Ok pour le première partie, ça marche bien.

2) Pour la seconde partie, il est demandé de décomposer en fractions simples de telle manière à n'obtenir que des dénominateurs du type (x-w)^n, en gros, il s'agit d'une décomposition en fractions simples sur C, et non seulement sur R, ce qui malheureusement complique le calcul...

[gg0]

Alors tu as deux pôles simples, donc tu as déjà rapidement trois coefficients.

Si tu cherches à vérifier que ton résultat est bon, les logiciels de calcul formel le font bien. Tu peux installer Xcas, ou utiliser en ligne Wolfram Alpha ou simplement QuickMath. A condition de déjà décomposer en facteurs du premier degré.
Voir par exemple "parfrac(1/((x+I*a)*(x-I*a)*(x-b)^2),x)" sous Wolfram (qui renomme parfrac en Apart) ou "1/((x+Ia)*(x-Ia)*(x-b)^2)" dans quick maths, thème partial fractions.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je répare un oubli :

Si b peut être complexe, alors b=ia et b=-ia sont à traiter en cas particulier puisque b devient un pôle triple.

Cordialement.