Projection orthogonale dans un espace Euclidien

[Sephiralo]

Bonjour,

dans le chapitre sur les projections orthogonales de mon cours sur les espaces Euclidien, il y a un exemple que je ne comprends pas : (j'ai marqué en rouge ce que je n'ai pas compris)

Calculer le minimum de l'intégrale :

pour a R et b R. Trouver les a et b qui réalisent ce minimum.
On considère l'espace vectoriel E=C([0,1],R) muni du produit scalaire :

et le sous-espace vectoriel F de E constitué des applications affines sur [0,1], c'est à dire le sous-espace engendré par et .
L'intégrale du texte représente la norme de la fonction t(t²-2(a+b)t+3a). Cette norme est minimale si t2(a+b)-3a est la projection orthogonale de tt² sur F.
Pour calculer cette projection orthogonale nous devons d'abord déterminer une base orthonormée de F à l'aide de Gram-Schmidt.


*Posons
On pose avec tel que .
On a si et seulement si . D'où .


Nous avons et



*Finalement et forment une base orthonormée de F.
On a alors :


Or et



Donc,

Le minimum de l'intégrale est donc


Les valeurs de a et b correspondantes sont données par , d'où en identifiant les coefficients et

Soit et .

Voilà je ne comprends pas cette histoire de sous-ensemble généré par des fonctions, celles-ci sortant de je ne sais où (apparemment elles sont données)... Sa doit être logique mais même avec les formules précédentes dans le cours je ne comprends pas le lien entre la projection et la résolution de ce problème (du moins le début).

Merci d'avance pour vos réponses !
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[Tryss]

Il s'agit d'un sous espace vectoriel, et on te donne deux vecteurs qui le génèrent. Sauf qu'ici tes espaces vectoriels sont des espaces de fonctions, donc les vecteurs sont des fonctions.

Ensuite tu as vu que dans un espace euclidien (=de hilbert), la distance entre un point A et les points d'un sev F est minimale pour A', le projeté orthogonal de A sur F. Ici ton intégrale correspond à ||f-g||², avec f:t -> t² et g un point du sev F (= une fonction affine)

[Sephiralo]

D'accord, merci Tryss, mais du coup, il y a une erreur dans l'exemple, ce n'est pas "Cette norme est minimale si " mais "Cette norme est minimale si " non ?

[Tryss]

D'accord, merci Tryss, mais du coup, il y a une erreur dans l'exemple, ce n'est pas "Cette norme est minimale si " mais "Cette norme est minimale si " non ?

Oui, il y a effectivement une typo (que je n'avais même pas vue, lisant ce que je voulais lire )

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