Algèbre linéaire, espaces de Hilbert, mécanique quantique

[Le petit belge]

Bonjour,

J'ai quelques petites questions au sujet de tout et n'importe quoi:

1) Nous avons vu un cours qu'un endomorphisme hermitien se représentait dans une base orthonormée par une matrice hermitienne. Est-ce vrai pour une base qui ne serait pas orthonormée également?

2) Dans un espace de Hilbert, Est-ce qu'une "base hilbertienne" est une notion équivalente à "système orthonormé total"? Quelles sont les différences?

3) Une question sur la mécanique quantique... On parle souvent de l'espace des états d'un système, par exemple pour une particule. Cependant, dans le cours, on fait toujours la distinction entre L^2(R^3) et cet espace E des états de la particule. Ces deux espaces sont isomorphes, mais que représente exactement cette notion d'espace des états E un peu abstraite? S'agit--il simplement d'une notation pour désigner l'ensemble des espaces isomorphes à L^2 ? Peut-on écrire en toute rigueur E = L^2 ?

4) Une dernière chose, l'espace des fonctions d'onde de la mécanique quantique est un sous-espace de L^2 (dans le Cohen, il est noté S je pense). Quelle est la définition exacte de cet ensemble?

Merci d'avance pour vos réponses
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[Dicolevrai]

Bonjour, Le petit belge.
1-) C'est vrai dans toute base orthogonal. Si la base n'est pas orthogonal, on perd ce résultat. Imagine la preuve!

2-) Oui

3-) L'espace des fonctions d'onde est le dual algébrique (l'ensemble des applications linéaires) de l'espace des états. Si l'espace des états est (ce qui est généralement le cas en mécanique quantique), alors, l'espace des fonctions d'onde est égalament , puisqu'il est son propre dual.

4-) est l'espace vectoriel des fonctions , de carré sommable. C'est-à-dire: .

Bon après-midi!

[Tryss]

3-) L'espace des fonctions d'onde est le dual algébrique (l'ensemble des applications linéaires) de l'espace des états. Si l'espace des états est (ce qui est généralement le cas en mécanique quantique), alors, l'espace des fonctions d'onde est égalament , puisqu'il est son propre dual.

Le dual algébrique de L²(R) n'est pas L²(R)... Le dual algébrique en dimension infinie est toujours plus grand que l'espace de départ.

L²(R) est le dual topologique de L²(R)

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir

4) Une dernière chose, l'espace des fonctions d'onde de la mécanique quantique est un sous-espace de L^2 (dans le Cohen, il est noté S je pense). Quelle est la définition exacte de cet ensemble?

Il me semble qu'il s'agit de l'espace de Schwartz: l'ensemble des fonctions à décroissances rapides et dont toutes les dérivées sont aussi à décroissances rapides.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Schwartz

[A voir en vidéo sur Futura]