epsilon-entropie et continuité à droite

[inviteb3412e7c]

Bonjour,

Je bloque sur une question portant sur la -entropie d'un espace compact.
On définit sur un espace compact les fonctions suivantes.
comme étant le plus petit entier tel qu'il existe un recouvrement de par ensembles de diamètre inférieur à .
Il faut montrer que est continue à droite par l'absurde en utilisant le fait que est compact muni de la distance de Hausdorff.

J'ai montré que est décroissante, donc si elle est discontinue à droite pour un en particulier cela veut dire que quelque soit , . A partir de là je bloque...

Quelqu'un a-t-il une idée?
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[inviteb3412e7c]

Je crois avoir trouvé en procédant par récurrence sur la valeur de .

et est faux car est le seul recouvrement de lui-même composé d'un seul ensemble, donc le diamètre de est et donc le diamètre de est ce qui est absurde par hypothèse.

Supposons que pour , soit continue à droite.

Supposons et . Posons tel que implique .
Pour on pose un recouvrement de par des ensembles non vides de diamètre alors est aussi un recouvrement de par des ensembles non vides de diamètre .

Comme l'ensemble des fermés non vides est compact muni de la distance de Hausdorff car est compact, alors notons une valeur d'adhérence de et une suite croissante d'entier tel que soit la limite de . Supposons et construits, alors notons une valeur d'adhérence de et une suite croissante d'entiers tel que soit la limite de .

Le diamètre de est car pour suffisamment grand et , .

Ensuite on montre que pour , alors est au moins dans une infinité de terme d'une des suites et donc appartient à au moins un car peut s'écrire .
Donc les forment un recouvrement de ensembles de diamètre , ce qui est absurde, donc est continue à droite

Est-ce que c'est bon d'après vous?

(PS: après relecture j'ai effectué un raisonnement direct et non par l'absurde, je me suis laissé emporté par l'énoncé de l'exercice ^^)