Développement limité d'un quotient

[invitee9572478]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum et j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de (cosx-1)/shx.

J'ai d'abord cherché à calculer le DL de 1/shx .
shx = (e^x-e^(-x))/2 et DL de shx à l'ordre 3 est x + x^3/3! + reste .

DL de 1/1+X = 1-X+X^2-X^3 + reste avec X = sh(x)-1
d'où DL de 1/shx = 1 -(x+x^3/3!)+(x+x^3/3!)^2, et je développe et m'arrête
à l'ordre 3 : 1 - x - x^3/6 + x^2 .

DL de cosx-1 à l'ordre 3 en 0 est -x^2/2 + reste et le produit donne :

(-x^2/2)*(1-x-x^3/6+x^2) = -x^2/2 +x^3/2 ,le reste dépassant l'ordre 3 ...

Merci ...
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[gg0]

Bonjour.

1/sh(x) n'est pas défini en 0, mais tu arrives quand même à "trouver" un DL !!! je te laisse chercher à quel endroit tu as dérapé (apprends ton cours, avant).

Ta fonction est à compléter par continuité en 0, puis tu pourras utiliser un quotient de DL (à simplifier) puis les méthodes de division de DL (voir ton cours et les règles précises).

Bon travail !

[Amanuensis]

d'où DL de 1/shx (...)
à l'ordre 3 : 1 - x - x^3/6 + x^2 .

C'est faux puisque cela implique que 1/sh(0) vaudrait 1.

Faut sortir le x en facteur d'abord (il disparaîtra ensuite avec le x en facteur du developpement de 1-cos x).

PS: Collision détectée après coup, mais je laisse...

[invitee9572478]

Bonjour et merci à tous deux de votre réponse,

donc, si je factorise les DL de numérateur et dénominateur par x, j'obtiens : (-x/2+x^3/6)/(1+x^2/6), je prolonge le DL du numérateur pour avoir de l'ordre 3 après simplification ...
Mais après, je ne vois pas trop comment procéder ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Utiliser "DL de 1/1+X = 1-X+X^2-X^3 + reste" était une bonne idée...

[invitee9572478]

En fait j'ai factorisé en haut et en bas par x, il me reste 1+x^2/2+x^4/24 au dénominateur et j'ai considéré cette expression sous la forme (1+x^2/2+x^24)^(-1), donc sous la forme (1+x)^n et j'ai obtenu (1-x^2/6-x^4/24).
J'ai ensuite multiplié ce DL avec celui du numérateur et en m'arrêtant à l'ordre 3 au final j'obtiens :
-x/2+x^3/8 ...

[gg0]

Généralement,

pour obtenir le DL d'un quotient P(x)/Q(x) en 0, avec Q(0) non nul, on utilise une division par puissances croissantes. C'est immédiat.
Si tu ne connais pas, tu devrais trouver ça facilement sur Internet.

Cordialement.

[Amanuensis]

En fait j'ai factorisé en haut et en bas par x, il me reste 1+x^2/2+x^4/24 au dénominateur et j'ai considéré cette expression sous la forme (1+x^2/2+x^24)^(-1), donc sous la forme (1+x)^n et j'ai obtenu (1-x^2/6-x^4/24).

C'est incorrect si 1+x^2/2+x^4/24 était correct. D'où viendrait ce coefficient 1/6 pour x^2, par exemple?

[invitee9572478]

Bonsoir à tous,

oui en effet, le coefficient de x^2 n'est pas 1/6 mais 1/2, désolé ...

Au final, on obtient du -x/2 + x^3/8 + reste ...