équation cartésienne

[Abderhman]

Bonjour,
lorsque l'on me donne une famille génératrice d'un sous espace vectoriel et qu'on me demande uné équation cartésienne de ce sous espace. Je dois déterminer les conditions pour qu'un vecteur appartienne à cet espace c'est bien sa?
Si par exemple j'ai u=(1,3) et v = (2,-2) pour déterminer une équation cartésienne, je prend (x,y) et je dis que il existe l et m tel que
lu + mv = (x,y) et je dois arriver à me débarasser des paramètres et avoir une condition du type x + y = 0. C'est bien sa? si oui comment me débarasser des paramètres et finir avec une équation de ce type

merci beaucoup
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[gg0]

Bonjour.

Avec une famille génératrice qui n'est pas une base, il y a des soucis. Donc la première chose à voir est de savoir si ta famille est libre. ici c'est le cas, donc le sev de engendré est de dimension 2, c'est !!
Si tu tiens à une équation cartésienne, en voici une : 0.x+0.y=0.

Mais si c'est un sev stricte, il suffit de calculer les inconnues (ici x et y) en fonction des paramètres (résolution de système). On tombe sur une ou plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, dans , le sev E engendré par u=(1,2,3,4) et v=(1,1,0,0) est l'ensemble des (a,b,c,d) tels que (a,b,c,d)=l.u+m.v=(l+m,2l+m,3l ,4l)
Ce qui donne le système de 4 équations :
l+m=a
2l+m=b
3l=c
4l=d.

On résout le système des deux premières, ça donne
l=b-a
m=2a-b

On remplace dans les deux équations suivantes :
3b-3a=c
4b-4a=d
Voilà, c'est le système d'équations cartésiennes de E.

Cordialement.