Solution équation différentielle linéaire d'ordre 2

[invite32e1bb91]

Bonjour. Je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la démonstration des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 svp: on commence par dire: "Soit f:R->C une solution de l'EDL2 à coefficients constants. On pose pour tout t appartenant à R g(t)=f(t)exp(-kt) soit f(t)=g(t)exp(kt) avec k une solution de l'équation caractéristique." Je ne comprends pas pourquoi on cherche les solutions sous cette forme, je veux dire que ça me semble un peu "parachuté" et j'aimerais savoir qu'elles sont les raisons d'introduire de telles fonctions sous cette forme... Merci d'avance pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On pose : F(y)=ay''+by'+cy, et on définit ainsi une application linéaire F de l'espace C²(R,C) dans l'espace C⁰(R,C).

Résoudre l'équation différentielle : ay''+by'+cy=0, c'est déterminer le noyau de F.
On écrit F=a.D²+b.D+c.id où D est l'opérateur de dérivation et on utilise le théorème de décomposition des noyaux pour se ramener à deux équations différentielle du premier ordre.

[gg0]

Bonjour.

C'est effectivement "un peu "parachuté" " comme tu le dis. Mais tout simplement, on fait ça parce que ça marche. Cependant, il y a une ligne de pensée qui explique qu'on soit arrivé là :
Pour une équation du premier ordre (*), y'=ay, l'exponentielle est une solution naturelle. Puis on cherche une solution pour les équations de la forme ay'+by=f(x) avec a non nul. Si f est assez particulière, on peut imaginer des solutions particulières. Sinon, un petit futé a eu l'idée dite "de variation de la constante" : ay'+by a comme solution y=Ce^rx (avec r=-b/a). Si on essayais de remplacer la constante C par une fonction inconnue C(x) ? On pose alors y=C(x)e^rx, on remplace dans ay'+by=f(x), et on tombe sur une équation différentielle de la forme C'(x)=g(x), qui se "résout" par intégration.

Pour le second ordre, il est logique de refaire ce qui a marché pour le premier ...

Cordialement.

(*) Je ne parle ici que des équations à coefficients constants.