Courbes paramétrées

[inviteaca2c26b]

Bonjour,

Prenons par exemple la courbe paramétrée M(t) suivante:
x(t)=e^(cos t)
y(t)=e^(sin t)
au voisinage de t=0

Je sais qu'il faut commencer par calculer le DL de M (t) et qu'ensuite il faut en déduire par partir de là deux autres vecteurs pour pouvoir tracer le graphique associé. Je n'arrive pas à comprendre comment on trouve ces vecteurs, en fait j'ai rien compris aux courbes paramétrées, donc est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer en détails la méthode à utiliser pour ce genre d'exercice.

Merci beaucoup d'avance!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Le développement limité, par exemple à l'ordre 4, donne :



C'est-à-dire, en notant le point de coordonnées :



avec des vecteurs de coordonnées : , , et .

Les vecteurs et sont linéairement indépendants, donc le développement limité à l'ordre 2 est suffisant :



et dans le repère la courbe a une représentation paramétrique telle que :



et elle a la même allure que la courbe de représentation paramétrique :



c'est-à-dire la parabole d'équation : . Le point a l'allure ordinaire.

[inviteaca2c26b]

D'accord, mais comment est ce que l'on sait jusqu'à quel ordre il faut arrêter le DL si l'énoncé ne nous le précise pas?
Ensuite, je ne comprends pas pourquoi il faut absolument que ces 2 vecteurs soient linéairement indépendants et pourquoi v1 correspond toujours au premier vecteur >=1 dans le DL et v2 au dernier vecteur?
Enfin, pour ce qui est de la représentation paramétrique de la courbe, je patauge aussi...Qu'est ce qu'un point à l'allure ordinaire? un point d'inflexion? un point de rebroussement de 1er et second espèce? Comment doit-on s'y prendre pour les dessiner?
Merci encore d'avance !

[inviteaca2c26b]

Pour la représentation de graphique, je sais que lorsque n<m,si:

n pair et m impair, on a un point de rebroussement de 1ère espèce
n pair et m pair, on a un point de rebroussement de 2ème espèce

n impair et m pair, on a un point d'inflexion
n impair et m impair, on a un point d'inflexion

Le problème c'est que je comprends pas non plus à quoi correspond ce n et ce m....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

D'accord, mais comment est ce que l'on sait jusqu'à quel ordre il faut arrêter le DL si l'énoncé ne nous le précise pas?

On ne le sait, pas : on le découvre après avoir fait le DL.
Dans mon exemple, j'ai décidé d'aller à l'ordre 4 alors que l'ordre 2 était suffisant. Dans un autre cas, l'ordre 4 sera insuffisant et il faudra aller plus loin.

Ensuite, je ne comprends pas pourquoi il faut absolument que ces 2 vecteurs soient linéairement indépendants et pourquoi v1 correspond toujours au premier vecteur >=1 dans le DL et v2 au dernier vecteur?

Les vecteurs doivent être indépendants pour constituer une base dans laquelle faire l'étude locale au voisinage du point qui pose problème.
L'ordre de V₁ et V₂ est purement conventionnel (l'ordre des termes dans le DL est quand même le plus naturel...), mais tout le monde les prend dans cet ordre, ce qui permet de suivre plus facilement les calculs.

[invite57a1e779]

Le problème c'est que je comprends pas non plus à quoi correspond ce n et ce m....

Ce sont les ordres des termes du DL qui fournissent les vecteurs de la base locale

[inviteaca2c26b]

Et comment représente t-on graphiquement la courbe paramétrée?

[inviteaca2c26b]

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