Groupe abélien et modules

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Voila j'ai trouvé sur internet ceci: tout groupe commutatif est un -module.

Ma question est pourquoi doit-on avoir la commutativité du groupe ?

Merci
-----

[Seirios]

Bonjour,

Cela fait partie de la définition de module sur un anneau (quelconque) : le groupe sous-jacent doit être commutatif.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Je me permets de poser ma question sur ce fil qui date un peu, et qui appartient à Mr. Jules345. J'espère que cela ne lui dérangera pas beaucoup.

Voici ma question :

Dans un article sur le net, je lis la chose suivante que je ne comprends pas très clairement :
Les modules sont aux anneaux ce que les actions sont aux groupes.

D'où ma question, est ce que les actions sont vues comme des cas particuliers de modules. En fait, pour moi les modules sont des objets, par contre, les actions, sont des morphismes non ?

Merci d'avance pour votre éclairage.

[invite93e0873f]

Un module est plus qu'un objet : pour mériter la désignation de « (R-)module », il faut une multiplication extérieure par l'anneau R, c'est-à-dire une fonction ayant certaines propriétés convenables vis-à-vis de la structure algébrique de R et de la structure (aussi algébrique ici) de M.

Une action de groupe doit s'effectuer sur un objet ; il ne s'agit pas d'un morphisme « dans le vide ». Il faut qu'il y ait un objet d'une certaine catégorie (celle des ensembles, des espaces topologiques, des variétés lisses, des groupes, etc.) et une application (qualifiée d' « action ») ayant certaines propriétés convenables vis-à-vis de la structure algébrique (voire plus) du groupe G et de la structure (dictée par la catégorie) de X.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Ah oui, c'est vrai. merci beaucoup.