probabilités

[invite5898d809]

Bonjour,
je voulais savoir si vous pouviez m'aider pour cet exercice s'il vous plait... j'essaie aussi pendant ce temps!merci encore!

Soit n un entier naturel superieur ou egal à 3.
On considère une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10.
On effectue une série de tirages d'une boule, avec remise de la boule dans l'urne entre deux tirages.

On considère les variables aléatoires suivantes :
Pour tout i compris entre 1 et n,
X indice i (que je noterai Xi) désigne le numéro de la i-ème boule tirée
Y indice i (Yi) est la variable de Bernoulli définie par:
Yi=1 si, au i-ème tirage, on obtient un numéro qui n'est jamais sorti avant.
Yi=0 sinon.

Enfin, N désigne le nombre aléatoire de numéros distincts obtenus en n titages.

1. Quelle est la loi de Xi?

2. Soient j un entier naturel compris entre 1 et 10, et p un entier naturel compris entre 1 et n.
Déterminer, en fonction de p, la probabilité que le numéro j ne sorte jamais au cours des p premiers tirages.

3. Déterminer P(Y1=1) (Y1 veut dire Y indice 1), et P(Y2=1)

4. Plus généralement, pour i élément compris entre 1 et n, déterminer P(Yi=1). Indication : on pourra utiliser la formule des probabilités totales associée au système complet d'événements {[Xi=j]} pour j compris entre 1 et 10, ainsi que le résultat de la question 2.
En déduire E(Yi) (c'est à dire l'espérance)

5. Exprimer N en fonction des Yi.
En déduire E(N) en fonction de n.
Evaluer lim E(N) quand n tend vers +infini. Interpréter ce résultat.

Je vous remercie encore de votre aide!!
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[shokin]

Salut,

explique-nous ce que tu as réussi à faire de ce que tu n'as pas réussi.

Shokin

[invite5898d809]

Bonjour!

et bien j'ai commencé l'exercice, pour la première question, je pensais à la loi uniforme, ensuite dès la deuxieme, je pensais à deux options : soit la loi de pascal, soit en essayant dutiliser la première variable Xi , mais je ne vois pas vrmt comment faire. Pour la troisieme, P(Y1=1) ets egal à 1 pour moi, mais pour l'autre probabilité, je ne vois pas. Du coup, après je suis totalement bloqué. Pourrais-tu me donner un coup de main s'il te plait? Je te remercie!!

[invite5898d809]

pour la première question, je crois avoir trouvé : on veut 1 face noire, donc on veut que 7-i=1, soit i=6, or le dé A a 6 faces, et est équilibré. Donc la probabilité est de 1/6! C'est bien ça? pourrais-tu m'aider pour les autres questions s'il te plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Pour 1., tu es d'accord qu'il y a, à chaque tir, dix possibilités, donc 10^n.

Pour le 2., la probabilité que j ne sorte pas au tour i est bien sûr de ... ! il suffit encore d'élever à la puissance n (resp. p).

Pour le 3., Pour que P(Yi = 1), il faut que les i tirages soient différents. Tu te doutes donc que dès que i surplombe 10, Yi=0. En dessous de 10, à chaque fois, pour que Yi reste égal à 1, tu as une possibilité en moins. En premier 10/10, en deuxième 9/10, ..., en onzième 0/10..

Pour le 4., cherche donc la probabilité que l'on ait i tirages différents parmi i boules, que l'on peut retirer (avec remise) parmi t boules (t=10 en l'occurence).

Soit N(i) le nombre de tirages distincts après i tirages. Si Yi=1, N(i) = i.

En fait, le nombre de tirages distincts égale (le nombre de i pour lesquels Yi=1) + 1.

Shokin