polynome irreductible & divisibilité

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Bonjour,
j'ai un problème dans la comprehension de la démonstration du nombre de polynôme irréductible de degré n sur Fq. Voici la démonstration sur laquelle je travaille :
http://minerve.bretagne.ens-cachan.f...polyirreFq.pdf

Dans le premier paragraphe, l'auteur considère une racine de P (un polynome de degré d irréductible dans Fq). Puis il montre que cette racine est aussi une racine du polynôme . Jusque la, je suis !
L'auteur conclut alors que P divise . Je ne comprends pas la conclusion .
Mon raisonnement est le suivant : si P admet que des racines simples, alors comme toute racine de P est racine de alors P divise (dans la clture algebrique). Mais rien ne dit que P n'ait pas de racine double. Et dans ce cas, je n'arrive pas a conclure.

Merci de votre aide !
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[invite34b13e1b]

il faut lire X^(q^n)-X a la place du polynome que j'ai écrit ci dessus.